Question

19．如图所示，在坐标系的第一、四象限存在一宽度为a、垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度的大小为B；在第三象限存在与y轴正方向成θ=60°角的匀强电场．一个粒子源能释放质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子的初速度可以忽略．粒子源在点P（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，-$\frac{1}{2}$a）时发出的粒子恰好垂直磁场边界EF射出；将粒子源沿直线PO移动到Q点时，所发出的粒子恰好不能从EF射出．不计粒子的重力及粒子间相互作用力．求：
（1）从P发出的粒子在磁场中的偏转半径；
（2）匀强电场的电场强度；
（3）PQ的长度；
（4）若仅将电场方向沿顺时针方向转动60°角，粒子源仍在PQ间移动并释放粒子，试判断这些粒子第一次从哪个边界射出磁场并确定射出点的纵坐标范围．

Answer 1

分析 （1）由几何关系可明确粒子偏转半径；
（2）粒子先在电场中加速，后进入磁场偏转，做匀速圆周运动．先画出粒子在磁场中的运动轨迹，由几何关系求解出粒子运动的轨迹半径，由牛顿第二定律求出粒子的速率，再由动能定理求解电场强度大小．
（3）第二次从N点出发的粒子刚好不能从AB边界离开磁场，其轨迹与AB相切，作出粒子的运动轨迹，由几何关系求解出粒子运动的轨迹半径，则可求得距离；
（4）根据粒子的运动方向，明确粒子的轨迹，根据运运过程可得出射出点的纵坐标范围．

解答 解：（1）据题意画出粒子在磁场中的运动轨迹，
如图1所示．由几何关系得粒子运动的轨迹半径 r=$\frac{a}{cosθ}$=$\frac{a}{\frac{1}{2}}$=2a
（2）在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，则有
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
联立解得 R₁=$\frac{m{v}_{1}}{Bq}$；
粒子被加速，
在电场中，由动能定理得：qE•a=$\frac{1}{2}$mv₁²；
联立以上各式，解得 E=$\frac{2q{B}^{2}a}{m}$
（3）粒子源在Q点时，运动轨迹应与EF相切，设OQ=d 
由几何关系知R₂=$\frac{2a}{3}$而R₂=$\frac{m{v}_{2}}{Bq}$
qEd=$\frac{1}{2}$mv₂²
可知v₂=$\sqrt{\frac{2qEd}{m}}$
可解得d=$\frac{a}{9}$
所以PQ=OP-OQ=$\frac{8a}{9}$；
（4）若将电场方向变为与y轴负方向成θ=60°角，
由几何关系可知，粒子源在PQ各点处，粒子经电场加速后
到进入磁场时的速率与原来相等，仍为v₁、v₂．从P、Q发
出的粒子半径仍为R₁=2a、R₂=$\frac{2a}{3}$
从P发出粒子半径大，射出点为N，由几何关系知正好与EF相切．
下边界：yN=a+2R₁sin60°=a+2$\sqrt{3}$a
同理可求从Q发出的粒子从y轴射出，射出点为M，
上边界：yM=$\frac{1}{9}$a+2R₂sin60°=$\frac{1}{9}a$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a
即射出点的纵坐标范围[-（$\frac{a}{9}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a），（a+2$\sqrt{3}$a）]；
答：（1）从P发出的粒子在磁场中的偏转半径为2a；
（2）匀强电场的电场强度为$\frac{2q{B}^{2}a}{m}$；
（3）PQ的长度为$\frac{8a}{9}$；
（4）这些粒子第一次从哪个边界射出磁场并确定射出点的纵坐标范围为[-（$\frac{a}{9}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a），（a+2$\sqrt{3}$a）]；

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程是正确解题的前提与关键，应用类平抛运动规律、牛顿第二定律即可正确解题．