Question

19．如图所示，一足够长的木板，上表面与木块之间的动摩擦因数为$μ=\frac{\sqrt{3}}{3}$，重力加速度为g，木板与水平面成θ角，让小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v₀沿木板向上运动．随着θ的改变，小木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，当θ角为何值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值．

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律得出速度的表达式，然后根据位移公式得到上滑距离S的表达式，结合数学知识求S的极值．

解答 解：当θ变化时，则有：mgsinθ+μmgcosθ=ma
木块的位移S为：v₀²=2as
$s=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}$=$\frac{{v}_{0}{\;}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+α）}$
令：tanα=μ
当θ+α=90°时，S最小，此时有：θ=60°
故有：S_min=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g（sin60°+μcos60°）}$=$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{4g}$
答：当θ=60°时，小物块沿木板上滑的距离最小，此最小值为$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{4g}$．

点评 求加速度和位移是物理学中的常规问题，关键是由数学三角函数知识求极值，要重视数学方法在物理中的应用．