Question

4．某人在静水中划船速度v₁=3m/s，他在水速v₂=1.5m/s的河中匀速划行，假设河宽为50m．
（1）若此船要以最短时间过河，船头应指向何方？最短时间t₁为多少？到达对岸时偏离正对岸的目标有多远？
（2）若此船要以最小位移过河，船头应指向何方？过河时间t₂为多少？

Answer 1

分析 （1）小船参与两个分运动，沿着船头方向的分运动和随着水流方向的分运动，当船头与河岸垂直时渡河时间最短；
（2）当船实际的轨迹垂直于河岸时，位移最短，先根据平行四边形定则求解出合速度，根据s=vt求解船渡河的时间．

解答 解：（1）欲使船渡河时间最短，船头应与河岸垂直，故最短时间为：
t=$\frac{d}{{v}_{1}}$=$\frac{50}{3}$s
到达对岸时偏离正对岸的目标的距离：l=${v}_{1}t=1.5×\frac{50}{3}=25$m
（2）当船实际的轨迹垂直于河岸时，位移最短，船头的方向偏向上游；
设此时船头与河岸之间的夹角为θ，则：v₂=v₁cosθ
代入数据得：θ=60°
船的合速度为：
v=$\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}-1．{5}^{2}}$=$1.5\sqrt{3}$m/s
渡河的时间：t′=$\frac{d}{v}=\frac{50}{1.5\sqrt{3}}=\frac{100\sqrt{3}}{9}$s
答：（1）他船头应与河岸垂直可以在最短时间内到达对岸，最短时间是$\frac{50}{3}$s，到达对岸时偏离正对岸的目标25m远．
（2）若要使船沿轨迹最短过河，应船头的方向偏向上游，与河岸之间的夹角是60°划行，对应的渡河时间是$\frac{100\sqrt{3}}{9}$s．

点评 对于小船渡河问题，关键是找到合运动与分运动，本题关键是知道当船头与河岸垂直时渡河时间最短，基础题目．