题目内容

15．如图所示，两根相距L1的平行粗糙金属导轨固定在水平面上，导轨上分布着n 个宽度为d、间距为2d的匀强磁场区域，磁场方向垂直水平面向上．在导轨的左端连接一个阻值为R的电阻，导轨的左端距离第一个磁场区域L2的位置放有一根质量为m，长为L1，阻值为r的金属棒，导轨电阻及金属棒与导轨间的接触电阻均不计．某时刻起，金属棒在一水平向右的已知恒力F作用下由静止开始向右运动，已知金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．

（1）若金属棒能够匀速通过每个匀强磁场区域，求金属棒离开第2个匀强磁场区域时的速度v2的大小；
（2）在满足第（1）小题条件时，求第n个匀强磁场区域的磁感应强度Bn的大小；
（3）现保持恒力F不变，使每个磁场区域的磁感应强度均相同，发现金属棒通过每个磁场区域时电路中的电流变化规律完全相同，求金属棒从开始运动到通过第n个磁场区域的整个过程中左端电阻R上产生的焦耳热Q．

分析 （1）根据牛顿第二定律和运动学公式求解
（2）求出金属棒匀加速运动的位移，根据运动学公式求出进入第n个磁场的速度，根据在第n个磁场中的受力平衡求第n个磁场的磁感应强度${B}_{n}^{\;}$
（3）根据运动学公式结合动能定理求出电阻上的焦耳热．

解答 解：（1）金属棒匀加速运动有F-μmg=ma
$v_2^2=2a（{L_2}+2d）$
解得：${v_2}=\sqrt{\frac{{2（F-μmg）（{L_2}+2d）}}{m}}$
（2）金属棒匀加速运动的总位移为  x=L2+2nd-2d
金属棒进入第n个匀强磁场的速度满足  $v_n^2=2ax$
金属棒在第n个磁场中匀速运动有安F-μmg-F安=0
感应电动势$E={B}_{n}^{\;}L{v}_{n}^{\;}$
电流$I=\frac{E}{R+r}=\frac{{B}_{n}^{\;}L{v}_{n}^{\;}}{R+r}$
安培力${F}_{A}^{\;}={B}_{n}^{\;}L{v}_{n}^{\;}$
联立得：${F_安}=\frac{{B_n^2L_1^2{v_n}}}{R+r}$
解得：${B_n}=\frac{1}{L_1}\root{4}{{\frac{{m（F-μmg）{{（R+r）}^2}}}{{2{L_2}+4nd-4d}}}}$
（3）金属棒进入每个磁场时的速度v和离开每个磁场时的速度v'均相同，
由题意可得v2=2aL2
v2-v'2=2a•2d
金属棒从开始运动到通过第n个磁场区域的过程中，有x总=L2+3nd-2d
$（F-μmg）{x_总}-{Q_总}=\frac{1}{2}m{v'^2}$
$Q=\frac{R}{R+r}{Q_总}$
解得：$Q=\frac{3R}{R+r}nd（F-μmg）$
答：（1）若金属棒能够匀速通过每个匀强磁场区域，金属棒离开第2个匀强磁场区域时的速度v2的大小$\sqrt{\frac{2（F-μmg）（{L}_{2}^{\;}+2d）}{m}}$；
（2）在满足第（1）小题条件时，第n个匀强磁场区域的磁感应强度Bn的大小为$\frac{1}{{L}_{1}^{\;}}\sqrt{\frac{m（F-μmg）（R+r）_{\;}^{2}}{2{L}_{2}^{\;}+4nd-4d}}$；
（3）现保持恒力F不变，使每个磁场区域的磁感应强度均相同，发现金属棒通过每个磁场区域时电路中的电流变化规律完全相同，金属棒从开始运动到通过第n个磁场区域的整个过程中左端电阻R上产生的焦耳热Q为$\frac{3R}{R+r}nd（F-μmg）$．

点评 本题综合考查了导体切割磁感线产生的电动势，牛顿第二定律和能量守恒定律，综合性较强，关键是理清运动过程，选择合适的规律进行求解

练习册系列答案
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