Question

16．如图所示，开口向上粗细均匀的玻璃管长L=100cm，管内有一段高h=20cm的水银柱，封闭着长a=50cm的空气柱，大气压强P₀=76cmHg，温度t₀=27°C．求温度至少升到多高时，可使水银柱全部溢出？

Answer 1

分析 开始温度升高时，气体压强不变，作等压变化．在水银不断外溢过程中，气体不再是等压变化，当水银柱上升至管口时，温度再升高，水银就会开始溢出，这时的气体压强随水银的溢出而减小，气体的体积在不断增大，温度不需要继续升高．由理想气体状态方程列出液柱长度与温度的关系式，讨论温度的最值．

解答 解：开始温度升高时，气体压强不变，气体体积膨胀，水银柱上升．当水银柱上升至管口时，温度再升高，水银就会开始溢出，这时的气体压强随水银的溢出而减小，气体的体积在不断增大，温度不需要继续升高，设该温度为t₂，剩余的水银柱的高度为x，玻璃管的横截面积为S．
气体的初始状态为：P₁=P₀+h    V₁=aS         T₁=300K
气体的末状态为：P₂=P₀+X    V₂=（100-X）S    T₂=273+t₂
根据理想气体状态方程有：$\frac{{{P_1}{V_1}}}{T_1}$=$\frac{{{P_2}{V_2}}}{T_2}$，即：$\frac{{（{P_0}+h）aS}}{300}$=$\frac{{（{P_0}+x）（100-x）S}}{{273+{t_2}}}$
要使剩余气体全部溢出的温度t₂最高，则（76+x）（100-x）必为最大．
又因为76+x+100-x=176为常数，所以当76+x=100-x，即x=12cm时，（76+x）（100-x）有最大值．
$\frac{（76+x）（100-x）}{{273+{t_2}}}$=16，解得：t₂=211℃，水银全部溢出．
答：温度至少升到211℃时，可使水银柱全部溢出．

点评 解决本题的关键要正确分析气体的状态变化过程，明确水银不断外溢过程中，气体不再是等压变化，温度随体积增大按“抛物线”规律变化，由气态方程列式求解最值．