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2．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．
（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，求m′（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式．

分析 （1）抓住A、B做圆周运动的向心力相等，角速度相等，求出A、B轨道半径的关系，从而得知A、B距离为A卫星的轨道半径关系，可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，根据万有引力定律公式求出质量m′．
（2）根据万有引力提供向心力求出暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式．

解答 解：（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，角速度均为ω，
由双星所受向心力大小相同，可得m1ω2r1=m2ω2r2
设A、B之间的距离为L，又L=r1+r2由上述各式得：L=$\frac{{m}_{1}+{m}_{2}}{{m}_{2}}$r1…①
由万有引力定律得，双星间的引力为：F=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$
将①式代入上式得：F=$G\frac{{m}_{1}{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}{{r}_{1}}^{2}}$…②
由题意，将此引力视为O点处质量为m′的星体对可见星A的引力，则有：F=G$\frac{{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}$…③
比较②③可得：m′=$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}$…④
（2）对可见星A，有：G$\frac{{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$…⑤
可见星A的轨道半径为：r1=$\frac{vT}{2π}$…⑥
由④⑤⑥式解得：$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}$=$\frac{v3T}{2πG}$．
答：（1）m′=$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}$；
（2）暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式为$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}$=$\frac{v3T}{2πG}$．

点评 对于天体运动问题关键要建立物理模型．双星问题与人造地球卫星的运动模型不同，两星都绕着它们之间连线上的一点为圆心做匀速圆周运动，双星、圆心始终“三点”一线．

练习册系列答案
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7．某学校实验小组欲测定正方体木块与长木板之间的动摩擦因数μ，采用如图甲所示的装置，图中长木板水平固定，所用的交流电频率为50Hz．

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（2）如图丙所示为该组同学实验中得到的一条纸带的一部分，0，1，2，3，4，5，6为计数点，相邻两计数点间还有4个计时点未画出．从纸带上测出x1=3.20cm，x2=4.52cm，x5=8.42cm，x6=9.70cm，则木块的加速度大小a=1.3 m/s2（保留两位有效数字）．
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8．某学习小组利用功能关系结合图象法求解出了弹性势能的表达式为Ep=$\frac{1}{2}k{x}^{2}$．其中x为弹簧的形变量，k为弹簧的劲度系数．学习小组为了验证此表达式是否正确，设计如图甲所示的实验装置：将劲度系数为k的轻质弹簧左端固定．再将一小球与弹簧右端接触但不拴连，然后向左推小球，使弹簧压缩一段距离后将小球由静止释放，小球向右运动一段距离后脱离桌面落在水平地面上，遁过测量和计算可以验证弹性势能的表达式是否正确．已知重力加速度为g，忽略所有阻力．
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10．太阳的两颗行星A．B绕太阳做匀速圆周运动，已知两行星质量之比为4：1，它们到太阳的距离之比为4：1，则它们绕太阳运动的线速度之比为1：2，角速度之比为1：8，向心加速度之比为1：16．
17．2016年3月8日天文爱好者迎来了“土星冲日”的美丽天象，“土星冲日”是指土星和太阳正好分处地球的两侧，二者几乎成一条直线．该天象每399天发生一次，土星和地球绕太阳公转的方向相同，公转轨迹都近似为圆，根据我们日常生活知识可知（　　）
A．土星公转的速率比地球大
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D．假如土星适度加速，有可能与地球实现对接
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14．在有“科学界奥斯卡”之称的美国《科学》杂志2003年度世界科技大突破评选中，物理学中的“证明宇宙是由暗物质和暗能量‘主宰’”的观点名列榜首，成为当今科技突破中的头号热点．世界科技的发展显示，暗物质、暗能量正成为天体物理学研究的重点．宇宙中的暗物质是不能直接观测到的东西，存在的依据来自子螺旋转的星系和星团，这些星系和星团以自身为中心高速旋转而没有飞散开去，仅靠自身质量产生的引力是远不足以把它们集合在一起的，一定存在暗物质，它的吸引力足以把这些旋转的星系牢牢抓住．根据对某一双星系统的光学测量确定该双星系统中每一个星体的质量都是M，两者相距L（L远大于星体的直径），它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．
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12．下面关于机械波的说法，正确的是（　　）
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C．波动过程中质点不可能发生沿波传播方向上的迁移
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