Question

12．竖直平面内有一个$\frac{1}{4}$圆弧AB，OA为水平半径，现从圆心O处（取处OA的水平面为零重力势能面，不计空气阻力）以一定的初速度水平抛出一个小球，小球刚好落到圆弧的中点，则小球的初动能与小球落到圆弧上时的重力势能之比为（　　）

• A． $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 小球做平抛运动，根据平抛运动的规律得到初速度与下落高度的关系；根据动能定理得到小球落到圆弧上时的动能与下落高度的关系，再根据数学知识分析即可．

解答 解：设小球落到圆弧上时下落竖直高度为y，水平位移为x，动能为E_k．小球平抛运动的初速度为v₀，圆弧AB的半径为R．
则有：
x=v₀t，y=$\frac{1}{2}$gt²；
则得：v₀=x$\sqrt{\frac{g}{2y}}$
小球刚好落到圆弧的中点，则有：x=y
由几何关系得：x²+y²=R²；
解得：x=y=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$
根据动能表达式得：E_k=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$mgR；
而重力势能E_P=-mgy=$-\frac{\sqrt{2}}{2}mgR$，
因此小球的初动能与小球落到圆弧上时的重力势能之比，$\frac{{E}_{k}}{{E}_{p}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{8}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$-\frac{1}{4}$，故D正确，ABC错误．
故选：D．

点评 本题考查平抛运动的处理规律，掌握牛顿第二定律与运动学公式的应用，注意小球刚好落到圆弧的中点是解题的突破口，及取处OA的水平面为零重力势能面是确定重力势能的正负依据．