Question

19．如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态．同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B．已知a球质量为m₁，b球质量为m₂，重力加速度为g．求：
（1）a球离开弹簧时的速度大小v_a；
（2）b球离开弹簧时的速度大小v_b；
（3）释放小球前弹簧的弹性势能E_p．

Answer 1

分析 （1）小球能通过最高点，则重力充当向心力，由向心力公式可得出小球在A点的速度，由机械能守恒可得出小球释放时的速度；
（2）对b球由机械能守恒可得出小球b的速度；
（3）对系统由动量守恒可求得两小球的质量关系，则由机械能守恒可得出弹簧的弹性势能．

解答 解：（1）a球过圆轨道最高点A时mg=m$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$
求出v_A=$\sqrt{gR}$
a球从C运动到A，由机械能守恒定律$\frac{1}{2}$mv_C2=$\frac{1}{2}$mv_A²+2mgR
由以上两式求出v_c=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$
（2）b球从D运动到B，由机械能守恒定律$\frac{1}{2}$m_bv_D²=m_bg×10R
求出v_b=v_D=2$\sqrt{5gR}$
（3）以a球、b球为研究对象，由动量守恒定律mv_a=m_bv_b
求出m_b=$\frac{1}{2}$m
弹簧的弹性势能 E_p=$\frac{1}{2}$mv_a²+$\frac{1}{2}$m_bv_b²
求出 E_ρ=7.5mgR
答：（1）a的速度为v_a为$\sqrt{5gR}$；
（2）b的速度为2$\sqrt{5gR}$；
（3）释放小球前弹簧的弹性势能7.5mgR．

点评 本题为动量守恒及机械能守恒相结合的题目，注意只有弹簧弹开的过程中动量才是守恒的，才能列出动量守恒的表达式，此后两小球不再有关系．