Question

7．如图所示，光滑水平面上静置两个等高的长木板A、B，质量均为M=2kg，两者相距d=1m，现将质量m=1kg的小滑块NC（可视为质点）以初速度v₀=10m/s从A的左端滑上，当A、B碰撞的瞬间，C刚好滑上B木板，碰撞时间极短．已知滑块C与长木板A、B间的动摩擦因数μ均为0.4，取重力加速度g=10m/s²．
（1）求长木板A的长度L_A；
（2）若A、B碰撞后粘在一起，要使C不从B上滑落，木板B的长度L_B至少多长？

Answer 1

分析 （1）A、B碰撞前，A做匀加速运动，C做匀减速运动，由牛顿第二定律求出两者的加速度，根据C与A的位移之差等于长木板A的长度，由位移公式求解．
（2）A、B碰撞后粘在一起，由动量守恒定律求得碰后两者的速度．要使C不从B上滑落，C滑到B的右端时速度与B相同，由动量守恒定律和功能关系列式求解木板B的长度．

解答 解：（1）设A、B碰撞前，A匀加速运动时间为t．
对A，由牛顿第二定律有：a_A=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.4×1×10}{2}$=2m/s²．①
由运动学公式：d=$\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}$　　        ②
解得：t=1s
此过程中，C向右匀减速运动
对C，由牛顿第二定律有：a_C=$\frac{μmg}{m}$=μg=4m/s²　             ③
由运动学公式：x_C=v₀t-$\frac{1}{2}{a}_{C}{t}^{2}$
解得  x_C=8m　　　　　　            ④
所以长木板A的长度 L_A=x_C-d=7m　　　　　
（2）设A、B碰撞前瞬间，A的速度大小为v_A，C的速度为v_C
由运动学公式得：v_A=a_At=2×1=2m/s
    v_C=v₀-a_Ct=10-4×1=6m/s                        ⑤
A、B碰撞瞬间，A、B系统动量守恒，设碰后瞬间A、B的共同速度为v₁
取向右为正方向，由动量守恒定律得：M v_A=2Mv₁ ⑥
C在B的上表面相对滑动的过程中，A、B、C系统动量守恒，设三者最终共同速度为v₂
由动量守恒定律得：2Mv₁+mv_C=（m+2M）v₂　　               ⑦
由能量转化守恒定律得：$\frac{1}{2}•$2Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv_C²=μmgS_相+$\frac{1}{2}$（m+2M）v₂²　　   　⑧
由⑤～⑧得：S_相=2.5m
故　L_B≥2.5m                       　　　　   
所以木板B的长度L_B至少2.5m长．
答：
（1）长木板A的长度L_A是7m
（2）若A、B碰撞后粘在一起，要使C不从B上滑落，木板B的长度L_B至少2.5m长．

点评 解决本题的关键是明确C在A上运动过程中遵循牛顿第二定律，C在B上滑动时，C相对于B滑动的位移为相对位移，摩擦生热与相对位移有关．