题目内容
20．
如图所示，一长L=4.5m、质量m1=1kg的长木板静止在水平面上，与地面间的动摩擦因数μ1=0.1．长木板B端距光滑水平轨道CD的C端距离S=7m，长木板的上表面与CD面等高．一小滑块以v0=9m/s的初速度滑上长木板的A端后长木板开始运动．小滑块质量m2=2kg，与长木板之间的动摩擦因数μ2=0.4，长木板运动到C处时即被半圆粘连．水平轨道CD右侧有一竖直光滑圆形轨道在D点与水平轨道平滑连接，圆心为O，半径R=0.4m．一轻质弹簧一端固定在O点的轴上，一端拴着一个质量与小滑块相等的小球，弹簧的原长为l0=0.5m，劲度系数k=100N/m，不计小滑块和小球的大小，取重力加速度的大小g=10m/s2．求：（1）小滑块刚滑上长木板时，长木板的加速度大小a1和小滑块的加速度大小a2；
（2）长木板与水平轨道C端发生粘连前瞬间的速度vt；
（3）小滑块与小球在D点发生弹性碰撞后，小球随即沿圆弧轨道运动，通过分析可知小球到达P点时离开圆轨道，求P、Q连线与竖直方向夹角θ的余弦值．
分析 （1）根据受力分析分别求2水平方向长木板和小滑块受到的作用力，根据牛顿第二定律求出加速度的大小；
（2）根据计算判定未到达C时木板与滑块的速度已大小相等，并一起匀减速运动至C点，根据运动规律求解到达C时的速度大小；
（3）根据动量守恒求得碰撞后小球的速度，再根据机械能守恒和合力提供圆周运动向心力求解到达P点时离开圆轨道时PQ连线与竖直方向的夹角的余弦．
解答 解：（1）由题意知滑块带动长木板滑动，先以滑块为研究对象，长木板对滑块的摩擦力使滑块产生加速度，故有：
μ2m2g=m2a2
可得滑块的加速度为：
${a}_{2}={μ}_{2}g=0.4×10m/{s}^{2}=4m/{s}^{2}$
长木板在滑块和地面滑动摩擦力共同作用下产生加速度有：
${a}_{1}=\frac{{μ}_{2}{m}_{2}g-{μ}_{1}（{m}_{1}+{m}_{2}）g}{{m}_{1}}=\frac{0.4×2×10-0.1（1+2）×10}{1}m/{s}^{2}$=5m/s2
（2）设滑块和木板达到共同速度v1时间为t
则v1=a1t
v1=v0-a2t
代入数据解得$t=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}+{a}_{2}}=\frac{9}{5+4}s=1s$
v1=5×1m/s=5m/s
此过程中长木板的位移为：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=\frac{1}{2}×5×{1}^{2}m＜S$
小滑块的位移为：${x}_{2}=\frac{{v}_{1}+{v}_{0}}{2}=\frac{5+9}{2}m/s=7m/s$
滑块与木板的位移差为：△x=x2-x1=7-2.5m=4.5m
因为△x=L，所以滑块刚好滑至长木板的右端时，两者具有共同的速度，经后长木板与滑块一起做匀减速运动
加速度为：${a}_{3}=-{μ}_{1}g=-0.1×10m/{s}^{2}=-1m/{s}^{2}$，因为|a3|＜|a2|，所以滑块和长木板一起减速，设滑行到C处的速度为vC，
根据速度位移关系有：${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+2{a}_{3}（s-{x}_{1}）}=\sqrt{{5}^{2}+2×（-1）（7-2.5）}=4m/s$
即长木板与水平轨道C端发生粘连前瞬间的速度vt为4m/s；
（3）小滑块和小球质量相同，在D处弹性碰撞后，两球交换速度，小球以vC=4m/s沿圆弧轨道向上运动，
设小球离开轨道时的速度为v
由机械能守恒有：$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}={m}_{2}g（R+Rcosθ）$…①
根据牛顿第二定律有：${m}_{2}gcosθ-k（{l}_{0}-R）={m}_{2}\frac{{v}^{2}}{R}$…②
由①②式解得：cos$θ=\frac{5}{6}$
答：（1）小滑块刚滑上长木板时，长木板的加速度大小a1为5m/s2小滑块的加速度大小a2为4m/s2
（2）长木板与水平轨道C端发生粘连前瞬间的速度vt为4m/s；
（3）小滑块与小球在D点发生弹性碰撞后，小球随即沿圆弧轨道运动，通过分析可知小球到达P点时离开圆轨道，P、Q连线与竖直方向夹角θ的余弦值为$\frac{5}{6}$．
点评 运用整体法和隔离法分析物体运动时的受力由牛顿第二定律求得物体运动的加速度，根据运动学规律是正确解题的关键．
名校通行证有效作业系列答案
如图所示为氢原子的能级图．当氢原予从n=4能级跃迁到n=2能级时，辐射出光子a；当氢原子从n=3能级跃迁到n=1能级时，辐射出光子b，则下列说法中正确的是（ ）| A． | 光子a的能量大于光子b的能量 | |
| B． | 光子a的波长小于光子b的波长 | |
| C． | b光比a光更容易发生衍射现象 | |
| D． | 在同种介质中，a光子的传播速度大于b光子的传播速度 |
| A． | $\frac{4}{7}$T0 | B． | $\frac{8}{7}$T0 | C． | $\frac{12}{7}$T0 | D． | $\frac{16}{7}$T0 |
如图所示．等量异种点电荷+Q和-Q固定，在它们的连线和其中垂线上有c、b、a三点，如图所示，现将一个带负电的检验电荷先从图中a点沿直线移到b点，再从b点沿直线移到c点，则在此全过程中（ ）| A． | 场强方向一直不变 | B． | 电势一直减小 | ||
| C． | 所受电场力一直增大 | D． | 电势能先增大后减小 |
| A． | 苹果电池组的电动势大于小灯泡的额定电压，小灯泡已烧毁 | |
| B． | 苹果电池组的内阻远大于灯泡的电阻 | |
| C． | 苹果电池组输出的电功率太小 | |
| D． | 苹果电池组不可能提供电能 |
如图，光滑半圆形轨道与光滑曲面轨道在B处平滑连接，前者置于水平向外的匀强磁场中，有一带正电小球从A静止释放，且能沿轨道前进，并恰能通过半圆轨道最高点C．现若撤去磁场，使球从静止释放仍能恰好通过半圆形轨道最高点，则释放高度H′与原释放高度H的关系是（ ）