Question

1．如图所示，光滑的圆弧轨道与倾角为θ=37°的斜面相切于B点，在圆弧轨道的最低点C放一质量为m的物块乙，圆弧轨道的半径为R，质量为2m的物块甲在斜面上A点由静止释放，物块甲与斜面的动摩擦因数为μ=$\frac{1}{6}$，AB间距离为3R，甲、乙碰撞后，乙恰好能到达圆弧轨道的最高点D点，（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）物块甲与物块乙相碰前的速度；
（2）物块甲和乙碰撞后的一瞬间，它们对圆弧轨道最低点C的压力之和；
（3）物块乙从D点抛出后，落到斜面上所用的时间，并分析能否垂直打在斜面上．

Answer 1

分析 （1）甲从A到B过程，应用动能定理可以求出甲的速度．
（2）碰撞过程动量守恒，碰撞后物体做圆周运动，应用动量守恒定律与牛顿第二定律求出压力．
（3）物体离开圆轨道后做平抛运动，应用平抛运动规律分析判断物体能否垂直打在斜面上．

解答 解：（1）BC间的高度差：h=R-Rcosθ，解得：h=0.2R，
物块甲从A到B，根据动能定理有：
2mgsinθ•3R+2mgh-μ•2mgcosθ•3R=$\frac{1}{2}$•2mv²，
解得：v=4$\sqrt{\frac{gR}{5}}$；
（2）甲与乙在C点发生碰撞，动量守恒，设碰撞后甲的速度为v₁，乙的速度为v₂，
以甲的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：2mv=2mv₁+mv₂，
设乙在D点的速度为v₃，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$，解得：v₃=$\sqrt{gR}$，
乙从C到D机械能守恒，由机械能守恒定律得：-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₃²-$\frac{1}{2}$mv₂²，
解得：v₂=$\sqrt{5gR}$，v₁=$\frac{3}{10}$$\sqrt{5gR}$；
碰撞后的一瞬间，甲对轨道最低点的压力：F₁-2mg=2m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，F₁=2.9mg，
乙对轨道最低点的压力：F₂-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，F₂=6mg，
它们对轨道最低点的压力之和：F=F₁+F₂=8.9mg；
（3）物块乙从D点抛出做平抛运动，设平抛运动的时间为t，则

x=v₃t，y=$\frac{1}{2}$gt²，在△BEF中：tanθ=$\frac{2R-y-0.2R}{x-0.6R}$
解得：2gt²+3$\sqrt{gR}$t-9R=0，解得：t=$\frac{3}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$，
物块乙刚落到斜面上时，v_y=gt=$\frac{3}{2}$$\sqrt{gR}$，
设速度与竖直方向的夹角为α
tanα=$\frac{{v}_{3}}{{v}_{y}}$=$\frac{\sqrt{gR}}{\frac{3}{2}\sqrt{gR}}$=$\frac{2}{3}$≠tan37°=$\frac{3}{4}$，
因此物块乙不能垂直打在斜面上；
答：（1）物块甲与物块乙相碰前的速度为4$\sqrt{\frac{gR}{5}}$；
（2）物块甲和乙碰撞后的一瞬间，它们对圆弧轨道最低点C的压力之和为8.9mg；
（3）不能垂直打在斜面上．

点评 本题考查了求速度、压力、判断物体能否垂直打在斜面上等问题，本题运动过程复杂，难度较大，分析清楚物体的运动过程是正确解题的前提与关键，应用动能定理、动量守恒定律、平抛运动规律即可正确解题．