Question

11．如图所示，一个固定在桌面上的L形物块，其中abcd为$\frac{3}{4}$圆周的光滑轨道，轨道半径为R，a为最高点，de平面水平，长度为R，在e处有一块固定的竖直挡板ef．将质量为m的小球在d点的正上方释放，让其自由下落到d处切入轨道运动，测得小球在a点处受轨道压力大小等于3mg（重力加速度g），求：
（1）小球释放点离d点的高度h；
（2）小球离开a点后，第一次撞击前的动能．

Answer 1

分析 （1）小球在a点时由重力和轨道的压力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可求出小球通过a点的速度，再由机械能守恒定律求小球释放点离d点的高度h；
（2）小球离开a后做平抛运动，由平抛运动的规律和几何知识结合求出运动时间，再求分速度，从而得到动能．

解答 解：（1）小球通过a点时，由重力和轨道的压力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
mg+N=m$\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$
据题有：N=3mg
解得：v_a=2$\sqrt{gR}$
根据机械能守恒定律得：mg（h-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}$
解得：h=3R
（2）小球离开a点后做平抛运动，假设小球恰好落在d点时在a点的初速度为v₁，恰好落在d点时在e点的初速度为v₂．由平抛运动的规律，
落在d点时有：R=$\frac{1}{2}$gt²；
R=v₁t；
解得：v₁=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
落在e点时有：2R=v₂t；
解得：v₂=$\sqrt{2gR}$
因为v_a=2$\sqrt{gR}$，所以小球会撞击挡板．
从a到第一次撞击的时间为：t′=$\frac{2R}{{v}_{a}}$=$\sqrt{\frac{R}{g}}$
小球第一次撞击的速度大小为：v=$\sqrt{{v}_{a}^{2}+（gt′）^{2}}$=$\sqrt{5gR}$
动能为：E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=2.5mgR
答：（1）小球释放点离d点的高度h是3R；
（2）小球离开a点后，第一次撞击前的动能是2.5mgR．

点评 本题的关键要把握圆周运动向心力来源，充分理解平抛运动的规律：水平方向的匀速直线运动，竖直方向的自由落体运动；它们的运动具有等时性，灵活运用运动学公式和几何关系研究平抛运动．