Question

18．据报道，一儿童玩耍时不慎从H=45m高的阳台上无初速掉下，在他刚掉下时恰被楼下一管理员发现，该管理员迅速由静止冲向儿童下落处的正下方楼底，准备接住儿童．已知管理员到楼底的距离为L=18m，为确保安全能稳妥接住儿童，管理员将尽力节约时间，但又必须保证接儿童时没有水平方向的冲击（即管理员在接小孩时速度又恰好为零），不计空气阻力，将儿童和管理员都看做质点，设管理员奔跑过程中只做匀加速、或匀减速、或匀速运动，g=10m/s²．问：
①小孩在空中运动的时间t=？
②小孩落地瞬间的速度大小v₁=？
③若管理员在加速或减速的加速度大小相等，且最大速度不超过v_m=9m/s，求管理员奔跑时加速度大小a需满足什么条件？

Answer 1

分析 ①小孩掉下后做自由落体运动，通过自由落体运动的位移公式求出时间．
②由公式v=gt求小孩落地瞬间的速度大小v₁．
③管理员先加速到速度最大，再匀速，再减速到0，抓住三段时间和等于自由落体的时间，三段位移之和等于管理员到楼底的距离L，求出最小加速度．

解答 解：①小孩掉下后做自由落体运动，由 H=$\frac{1}{2}$gt² 得
  t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×45}{10}}$s=3s
②小孩落地瞬间的速度大小 v₁=gt=10×3=30m/s
③管理员先加速到速度最大，再匀速，再减速到0，设管理员奔跑时的加速度大小为a．
则总时间 t₁+t₂+t₃=3s
位移之和 s₁+s₂+s₃=L=18m
且 t₁=t₃=$\frac{{v}_{m}}{g}$
  s₁=s₃=$\frac{{v}_{m}^{2}}{2a}$
  s₂=v_mt₂
由上可得 a=9m/s²
故加速度应满足 a≥9m/s²．
答：
①小孩在空中运动的时间t是3s．
②小孩落地瞬间的速度大小v₁是30m/s．
③管理员奔跑时加速度需满足 a≥9m/s²．

点评 解决本题的关键抓住小孩自由下落的时间和管理员运动的时间相等，分析清楚管理员的运动情况，灵活运用运动学公式求解．