Question

13．两个试管由一软管联通（如图所示），左边试管由一段长为24cm的水银柱封住一段长为60cm、温度为300K的气体，这时水银面距管侧面小孔还有16cm，右边空试管为防溢用．现有一控温系统可以持续升高或降低气体的温度，当气体温度升高到一定值时水银会从左边试管溢到右边的试管中．左边试管固定不动，右边的试管可以上下移动，上移时可使右边试管中的水银回流到左边试管、从而控制左边试管中水银柱的高度．
（1）求稳定状态下左边试管中水银面与小孔平齐时，气体的温度T与水银柱高度x的关系式（取大气压强为76cmHg）；
（2）在答题纸的方格坐标中作出（1）中的气体温度T与水银柱高度x的关系图（要求纵坐标为T，横坐标为x）；
（3）怎样才能使左边试管中只剩下4cm高的水银柱、且水银面恰好与小孔平齐？写出具体操作步骤．

Answer 1

分析 （1）找出初、末态的参量，根据理想气体状态方程列式求解关系式；
（2）根据（1）中得到的关系式作出图象；
（3）仍然结合（1）中的图象，剩余水银柱长度x=4cm时，对应的气体温度为T=384K，可以采用先升温再降温的方法达到目的．

解答 解：（1）初态：P₁=76+24（cmHg），V₁=60（cm•S），T=300K
试管中剩x（cm）高度的水银柱时为末态，P₂=76+x，V₂=100-x，T₂待定，
则：$\frac{{P}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}=\frac{{P}_{2}{V}_{2}}{{T}_{2}}$
联立解得：T₂=$\frac{1}{20}$（76+x）（100-x）
（2）气体温度与留在试管中水银柱高度的关系如图所示，

关系式表明T₂存在极大值，当x=12cm时，T_2max=387.2K，为温度的最大值，
（3）从图中可以看出，剩余水银柱长度为4cm，对应的气体温度为T₂=384K，使试管中只剩下4cm高的水银柱的操作步骤如下：
①让气体的温度由300K持续升高到388K，超过T_2max=387.2K，维持气体温度，水银开始不断溢出；
②当左侧管中剩下的水银柱高度小于4cm时，马上让气体降温，降低到T₂'＜384K，比如350K，此时，水银上表面离管上小孔有一定距离；
③提高右边的试管让水银回流，使左边试管中的水银柱高度达到4cm；然后再慢慢升高气体的温度，直到384K时，水银面恰好与小孔平齐为止．
答：（1）稳定状态下左边试管中水银面与小孔平齐时，气体的温度T与水银柱高度x的关系式：T=$\frac{1}{20}$（76+x）（100-x）；
（2）气体温度T与水银柱高度x的关系图如图所示；
（3）操作步骤如下：①让气体的温度由300K持续升高到388K，超过T_2max=387.2K，维持气体温度，水银开始不断溢出；
②当左侧管中剩下的水银柱高度小于4cm时，马上让气体降温，降低到T₂'＜384K，比如350K，此时，水银上表面离管上小孔有一定距离；
③提高右边的试管让水银回流，使左边试管中的水银柱高度达到4cm；然后再慢慢升高气体的温度，直到384K时，水银面恰好与小孔平齐为止．

点评 该题考查了气体的状态方程的应用，解题的关键是分析清楚气体变化的过程，确定气体的状态，分析状态参量，利用对应的气体状态方程进行求解．