Question

10．如图甲所示，是建筑工地将桩料打入泥土中以加固地基的打夯机示意图．打夯前先将桩料扶正立于地基之上．已知夯锤的质量为M=450kg，桩料的质量为m=50kg．每次打夯都通过卷扬机牵引将夯锤提升到距离桩顶h₀=5m处再释放，让夯锤自由下落，夯锤砸在桩料上并不弹起，而是随桩料一起向下运动．[两者碰撞时间极短，碰撞前后速度关系满足Mv₀=（M+m）v]．桩料进入泥土后所受阻力，随打入深度h的变化关系如图乙所示，直线斜率k=5.05×10⁴N/m．每次电动机需用20s的时间提升夯锤．提升夯锤时忽略加速和减速的过程，不计夯锤提升时的动能．g=10m/s²，求
（1）若卷扬机的工作效率为η=80%，则在每次提升夯锤的过程中，卷扬机的输入功率．（结果保留2位有效数字）
（2）打完第一夯后，桩料进入泥土的深度．（假设打第一夯前，桩料未进入泥土）

Answer 1

分析 （1）由能量守恒定律来算出电动机的输入功率；
（2）先由运动学公式求出夯打击前的速度．打击过程遵守动量守恒，由动量守恒定律求出打击后桩料的速度，再用平均力做功算出进入泥土的深度．

解答 解：（1）提升夯锤的过程中需克服重力做功 W=Mgh₀；
卷扬机的输入功率 P=$\frac{W}{ηt}$
代入数据，解得 P=1.4×10³W
（2）夯打击前的速度为
  v=$\sqrt{2g{h}_{0}}$=$\sqrt{2×10×5}$=10m/s
取向下为正方向，打击过程遵守动量守恒，则得
  Mv₀=（M+m）v
得 v=9m/s
桩料下冲过程的阻力是随距离均匀变化的，可用平均力求做功，由动能定理得
  （M+m）gh-$\frac{1}{2}$kh•h=0-$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
代入数据得桩料进入泥土的深度 h=1m
答：
（1）在每次提升夯锤的过程中，卷扬机的输入功率是1.4×10³W．
（2）打完第一夯后，桩料进入泥土的深度是1m．

点评 本题主要考查动能定理和能量守恒的使用，难点在于当力随距离均匀变化时，可用平均力求功，也可用图象法，力与距离所夹面积表示功．