Question

（2012?唐山一模）如图所示，在直角坐标系x轴上方有与x轴成45°角的匀强电场，场强大小E=10³V/m，在x轴下方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=1T．现从y轴上距坐标原点L=1Ocm处由静止释放一比荷为

2

×104C/kg的带正电的微粒A，不计微粒的重力．求：
（1）微粒进入磁场后在磁场中运动的轨道半径；
（2）从释放微粒到微粒第一次从磁场返回电场所用时间；
（3）若在A第一次返回电场的同时，在电场中适当的位置由静止释放另一与A完全相同的带电微粒B，可使两微粒在进入磁场前相遇．求出所有满足条件的释放点的轨迹方程（不计两微粒之间的库仑力）．

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求出粒子进入磁场时的速度，再根据洛伦兹力提供向心力求出粒子在磁场中运动的轨道半径．
（2）根据匀变速直线运动的公式，求出带电粒子在电场中做匀加速直线运动的时间，根据几何关系，知粒子在磁场中运动

3

4

T，根据周期公式求出粒子在磁场中运动的周期，从而求出从释放微粒到微粒第一次从磁场返回电场所用时间．
（3）微粒从P点进入磁场后做类平抛运动，如图，由于微粒B与A完全相同，所以只需在微粒离开磁场时速度方向的直线上的PQ范围内任一点释放微粒B，可保证两者在进入磁场前相碰．求出直线的方程．

解答：解：（1）微粒在进入磁场前做匀加速运动，设微粒质量为m，带电量为q，进入磁场时速度为v，则：

1

2

mv2=

2

qEL
微粒进入磁场后做匀速圆周运动，设轨道半径为R，则：
qvB=m

v2

R

代入数值可解得：
R=

2

10

m
（2）由此可作出微粒的运动轨迹如图所示．微粒在磁场中运动

3

4

圆周后从P点进入电场．设微粒从释放到进入电场之前所用时间为t，则：
t1=

2 L

v 2

T=

2πm

qB

而t=t1+

3

4

×

2πm

qB

 
代入数值可得：t=(

2

+

3 2 π

4

)×10-4s．
（3）微粒从P点进入磁场后做类平抛运动，设微粒再次进入磁场时距坐标原点为x，如图所示，则：

.

Px

sin45°=

1

2

qE

m

t22

.

Px

cos45°=vt2
代入数值可解得

.

Px

=0.8m．
由于微粒B与A完全相同，所以只需在微粒离开磁场时速度方向的直线上的PQ范围内任一点释放微粒B，可保证两者在进入磁场前相碰．
由几何关系得，P点的横坐标为-10cm，Q点的横坐标为30cm．
即在直线y=x+10 （-10≤x≤30）上式任意一点释放微粒B都能满足要求．
答：（1）微粒进入磁场后在磁场中运动的轨道半径为

2

10

m．
（2）从释放微粒到微粒第一次从磁场返回电场所用时间t=(

2

+

3 2 π

4

)×10-4s．
（3）所有满足条件的释放点的轨迹方程为y=x+10 （-10≤x≤30）．

点评：解决本题的关键知道粒子在电场中先做匀加速直线运动，然后在磁场中做匀速圆周运动，再进入电场做类平抛运动，根据牛顿第二定律、动能定理，结合运动学公式进行求解．