Question

10．如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（　　）

• A． 小球能够到达最高点时的最小速度为0
• B． 小球能够通过最高点时的最小速度为$\sqrt{gR}$
• C． 如果小球在最高点时的速度大小为2$\sqrt{gR}$，则此时小球对管道的内壁的作用力为3mg
• D． 如果小球在最低点时的速度大小为$\sqrt{5gR}$，则小球通过最低点时对管道的外壁的作用力为6mg

Answer 1

分析 圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0．小球在最高点时的速度大小为2$\sqrt{gR}$时，由牛顿第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向，再由牛顿第三定律分析小球对管道的作用力．在最低点时的速度大小为$\sqrt{5gR}$时，同样根据牛顿第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向．

解答 解：A、圆形管道内壁能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，故A正确，B错误；
C、设管道对小球的弹力大小为F，方向竖直向下．由牛顿第二定律得
mg+F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，v=2$\sqrt{gR}$，代入解得F=3mg＞0，方向竖直向下，
根据牛顿第三定律得知：小球对管道的弹力方向竖直向上，即小球对管道的外壁有作用力，故C错误；
D、重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：N=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$=mg+m$\frac{5gR}{R}$=6mg；
根据牛顿第三定律，球对管道的外壁的作用力为6mg，故D正确．
故选：AD

点评 本题中圆管模型与轻杆模型相似，抓住两个临界条件：一是小球恰好到达最高点时，速度为零；二是小球经过最高点与管道恰好无作用力时速度为$\sqrt{gR}$．