Question

如图所示，能发射电子的阴极k和金属板P之间所加电压为U₁，其右侧有一平行板电容器，已知平行板的板长为L，板间距离为d，且电容器的上极板带负电荷，下极板带等量的正电荷，在两极板间还存在有垂直于纸面的匀强磁场．从阴极k发出的电子被kP之间的电场加速后从P板上的小孔О射出，然后射入电容器并刚好从两板正中间沿直线ОО′射出电容器，如果在电子进入电容器前撤去板间电场而不改变磁场，则电子刚好能从平行板的右侧边缘射出，不计电子初速度、重力和电子间的相互作用，且整个装置放在真空中．求：
（1）匀强磁场的磁感应强度的方向；
（2）加在电容器两板间的电压．

Answer 1

分析：（1）在撤去电场前，电子受到电场力和洛伦兹力作用，沿直线运动，则电场力和洛伦兹力平衡，电子做匀速直线运动．电场力方向向下，磁场力方向向上，根据左手定则判断磁场方向．
（2）未撤去电场时，由平衡条件求出磁感应强度B．撤去板间电场而不改变磁场时，电子受洛伦兹力作用做匀速圆周运动．电子刚好能从平行板的右侧边缘射出，根据板长和板间距离求出电子运动的半径．根据牛顿第二定律求解电容器两板间的电压．

解答：解：（1）在撤去电场前，电子做匀速直线运动，电场力和洛伦兹力平衡．由于电场力方向向下，故洛伦兹力方向向上，由左手定则可知，磁场方向垂直于纸面向外．
    （2）电子在加速过程中有qU1=

1

2

mv2 
      得到v=

2qU1 m

               ①
    电子刚好从板边缘射出，设运动的轨道半径为R，
       则有R2=L2+(R-

d

2

)2，R=

4L2+d2

4d

 ②
    电子在磁场中运动时有Bqv=

mv2

R

        
      得到R=

mv

qB

③
    电子沿直线运动时有Bqv=q

U2

d

          
      得到B=

U2

vd

④
    联立①②③④解得加在电容器两板间的电压
         U2=

8d2U1

4L2+d2

答：（1）匀强磁场的磁感应强度的方向垂直于纸面向外；
   （2）加在电容器两板间的电压 U2=

8d2U1

4L2+d2

．

点评：本题电磁场中力学问题，基础是分析带电粒子的受情况和运动情况．题中正交的电磁场是速度选择器模型．