Question

13．如图所示，质量为m的工件，架在两根互相平行、与水平地面成θ角、半径为r的长圆柱形导杆上，工件与导杆间的动摩擦因数为μ，两导杆各绕其轴线以角速度ω匀速转动，转动方向相反，若工件恰好沿导杆匀速下滑．工件的重心与两导杆等距且不发生横向移动，则（　　）

• A． 工件在与导杆接触处受到的摩擦力方向沿导杆向上
• B． 每根杆对工件的摩擦力大小为μmgcosθ
• C． 工件受到的摩擦力的合力大小为mgsinθ
• D． 工件向下匀速运动的速度大小v=$\frac{ωrtanθ}{\sqrt{{μ}^{2}-ta{n}^{2}θ}}$

Answer 1

分析 质量为m的工件向下做匀速直线运动的过程中，受到重力、两个杆的支持力与摩擦力的作用，根据共点力平衡的条件，结合工件受力的特点即可解答．

解答 解：A、以质量为m的工件为研究对象，可知工件向下运动的过程中，受到重力、两个杆的支持力与摩擦力的作用，工件与杆之间既有沿杆方向的相对运动，又有沿垂直于杆的方向的相对运动，又由于滑动摩擦力的方向与两个物体之间相对运动的方向是相反，所以工件在与导杆接触处受到的摩擦力方向一定不是沿导杆向上．故A错误；
B、由题，工件的重心与两导杆等距，所以工件对两个杆的压力是相等的，都是$\frac{1}{2}mgcosθ$，所以每根杆对工件的摩擦力大小为$\frac{1}{2}$μmgcosθ．故B错误；
C、工件向下做匀速直线运动，沿杆方向受到的力是平衡力，所以工件受到的两个摩擦力的合力大小等于工件受到的重力沿杆向下的方向的分力，为mgsinθ．故C正确；
D、由于滑动摩擦力的方向与两个物体之间相对运动的方向是相反的，设每一个杆对工件的摩擦力的方向都与杆之间的夹角为α，则工件相对于杆运动的方向与杆之间的夹角也是α．设工件向下匀速运动的速度大小v，则：
$\frac{ωr}{v}=tanα$
杆对工件的摩擦力沿杆的方向向上的分力等于重力沿杆向下的分力的一半，即$\frac{1}{2}$mgsinθ，所以：
$cosα=\frac{\frac{1}{2}mgsinθ}{\frac{1}{2}μmgcosθ}=\frac{tanθ}{μ}$
结合：sin²α+cos²α=1
联立得：v=$\frac{ωrtanθ}{\sqrt{{μ}^{2}-ta{n}^{2}θ}}$．故D正确．
故选：CD

点评 该图中，工件受到的力是多方向的力，在解答的过程中一定要注意滑动摩擦力的方向与两个物体之间相对运动的方向是相反的，每一个杆对工件的摩擦力的方向都与杆之间的有一个夹角，这是解答的关键．