Question

16．如图所示，质量均为m的两个小球固定在一根不计质量的直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴，AO、BO的长分别为$\sqrt{3}$L和L，开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方，让该系统由静止开始自由转动，求：
（1）当A到达最低点时，B小球的速度大小v；
（2）A球到最低点时，杆OA对A球所做的功；
（3）开始转动后B球可能达到的最大速度v_m的大小．

Answer 1

分析 （1）AB两个球组成的系统机械能守恒，根据系统的机械能守恒列式可以求得AB速度之间的关系，同时由于AB是同时转动的，它们的角速度的大小相同．联立即可求解v．
（2）对A球，运用动能定理求杆OA对A球所做的功．
（3）设OA杆从开始转过α角时，B球的速度达到最大．根据系统的机械能守恒和AB速度关系，得到B的速度与θ的关系式，运用数学知识求解B速度的最大值．

解答 解：（1）以直角尺和两小球组成的系统为对象，由机械能守恒得：
  mg•$\sqrt{3}$L=mgL+$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
A、B转动的角速度始终相同，由v=ωr，有v_A=$\sqrt{3}$v
联立解得：v=$\sqrt{\frac{（\sqrt{3}-1）gL}{2}}$
（2）对A球，由动能定理得：mg•$\sqrt{3}$L+W=$\frac{1}{2}$mv²-0．
解得，杆OA对A球所做的功为：W=$-\frac{（5\sqrt{3}+1）mgL}{4}$
（3）B球速度达到最大v_m时，系统的动能最大．设OA杆从开始转过α角时，B球的速度达到最大．根据系统的机械能守恒定律得：
  mg•$\sqrt{3}$Lcosα-mg•L（1-sinα）=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
又v_A=$\sqrt{3}$v_B，
则得：${v}_{B}^{2}$=[$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα-$\frac{1}{2}$]gL=[sin（60°+α）-$\frac{1}{2}$]gL
根据数学知识得：α=30°时，${v}_{B}^{2}$有最大值 $\frac{1}{2}$gL，则得B球速度的最大值为：v_m=$\frac{\sqrt{2gL}}{2}$
答：（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v是$\sqrt{\frac{（\sqrt{3}-1）gL}{2}}$；
（2）杆OA对A球所做的功为$-\frac{（5\sqrt{3}+1）mgL}{4}$；
（3）开始转动后B球可能达到的最大速度v_m是$\frac{\sqrt{2gL}}{2}$．

点评 本题中的AB的位置关系并不是在一条直线上，所以在球AB的势能的变化时要注意它们之间的关系，在解题的过程中还要用到数学的三角函数的知识，要培养自已运用数学知识处理物理问题的能力．