Question

13．控制带电粒子的运动在现代科学实验、生产生活、仪器电器等方面有广泛的应用．现有这样一个简化模型：如图所示，y轴左、右两边均存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，右边磁场的磁感应强度始终为左边的2倍．在坐标原点O处，一个电荷量为+q、质量为m的粒子a，在t=0时以大小为v₀的初速度沿x轴正方向射出，另一与a相同的粒子b某时刻也从原点O以大小为v₀的初速度沿x轴负方向射出．不计粒子重力及粒子间的相互作用，粒子相遇时互不影响．
（1）若a粒子能经过坐标为（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$l，$\frac{1}{2}$l）人P点，求y轴右边磁场的磁感应强度B₁
（2）为使粒子a、b能在y轴上Q（0，-l₀）点相遇，求y轴右边磁场的磁感应强度的最小值B₂；
（3）若y轴右边磁场的磁感应强度为B₀，求粒子a、b在运动过程中可能相遇的坐标值．

Answer 1

分析 两个带电粒子在两个匀强磁场中向不同方向做匀速圆周运动，涉及相遇、多解等问题，是该专题的难点．
（1）a粒子向右做匀速圆周运动通过某点，根据该点的坐标，用勾股定理求出半径，再由洛仑兹力提供向心力求得右边磁场的磁感应强度．
（2）右边磁感应强度B₂最小，说明Q点是a、b粒子在y轴上第一次相遇的点，画出a、b粒子的轨迹，由相遇点的坐标找到半径，同样洛仑兹力提供向心力，也就求出了磁感应强度的最小值．
（3）画出a、b粒子的运动轨迹，由图知：只有在两轨迹相交或相切的那些点，才有相遇的可能性，所以有y轴上的相切点和 y轴左侧的相交点．经分析可知，只要a、b粒子从O点出发的时间差满足 一定的条件，这些相交或相切的点均能相遇．通过分析，相切点只能y轴上、相遇点在y轴左侧且满足一定关系．

解答 解：（1）设a粒子在y轴右侧运动的半径为R₁，由几何关系有：
   $（{R}_{1}-\frac{1}{2}l）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}l）^{2}={{R}_{1}}^{2}$  
  由于  ${B}_{1}q{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{R}_{1}}$                                                                    
  解得  ${B}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{ql}$                  
（2）B₂最小，说明Q点是a、b粒子在y轴上第一次相遇的点，由图乙可知，a、b粒子同时从O点  出发，且粒子在y轴右侧运动的圆周运动半径为：${R}_{2}=\frac{{l}_{0}}{2}$
  又  ${B}_{2}q{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{R}_{2}}$                
  解得：${B}_{2}=\frac{2m{v}_{0}}{q{l}_{0}}$                 
（3）由图丙可见，只有在两轨迹相交或相切的那些点，才有相遇的可能性，所以有y轴  上的相切点和 y轴左侧的相交点．经分析可知，只要a、b粒子从O点出发的时间差满足  一定的条件，这些相交或相切的点均能相遇．
  粒子在y轴右侧的运动半径为：${r}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{{B}_{0}q}$ 
  粒子在y轴左侧的运动半径为：${r}_{2}=\frac{2m{v}_{0}}{{B}_{0}q}$        
①y轴上的相切点坐标为$（0，-\frac{2km{v}_{0}}{{B}_{0}q}）$     （k=1，2，3，…）         
②y轴左侧的相交点相遇，由丙图可知，OA=AC=OC=r₂
可得：${x}_{A}=-{r}_{2}sin60°=-\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{{B}_{0}q}$     
${y}_{A}=-{r}_{2}cos60°=-\frac{m{v}_{0}}{{B}_{0}q}$     
y轴左侧的相遇点的坐标为：

$[-\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{{B}_{0}q}，-\frac{（2n-1）m{v}_{0}}{{B}_{0}q}]$    （n=1，2，3，…）

答：（1）若a粒子能经过坐标为（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$l，$\frac{1}{2}$l）人P点，y轴右边磁场的磁感应强度B₁的大小为$\frac{m{v}_{0}}{ql}$．
（2）为使粒子a、b能在y轴上Q（0，-l₀）点相遇，求y轴右边磁场的磁感应强度的最小值B₂大小为$\frac{2m{v}_{0}}{q{l}_{0}}$．
（3）若y轴右边磁场的磁感应强度为B₀，粒子a、b在运动过程中可能相遇的坐标值分两种情况：①y轴上的相切点坐标为$（0，-\frac{2km{v}_{0}}{{B}_{0}q}）$     （k=1，2，3，…）；   ②y轴左侧的相遇点的坐标为$[-\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{{B}_{0}q}，-\frac{（2n-1）m{v}_{0}}{{B}_{0}q}]$（n=1，2，3，…）．

点评 本题的难点在于第三问的多解：由于粒子在左侧的半径是右侧的2倍，先画出粒子的运动轨迹，找到在y轴上能够相切的点的坐标，显然是右侧半径的整数倍；再分析能够在y轴左侧相交的坐标，显然相关点构成等边三角形．