Question

15．如图所示，半径为R的光滑圆环竖直固定，质量为3m的小球A套在圆环上；长为2R的刚性（既不伸长也不缩短）轻杆一端通过铰链与A连接，另一端通过铰链与滑块B连接；滑块B质量为m，套在水平固定的光滑杆上．水平杆与圆环的圆心O位于同一水平线上．现将A置于圆环的最高处并给A-微小扰动（初速度视为0），使A沿圆环顺时针自由下滑，不计一切摩擦，A、B均视为质点，重力加速度大小为g．求：
（1）A滑到与圆心O同高度时的速度大小；
（2）A下滑至杆与圆环第一次相切的过程中，杆对B做的功．

Answer 1

分析 （1）当A滑到与O同高度时，A的速度沿圆环切向向下，B的速度为零，对系统运用机械能守恒，求出A滑到与圆心O同高度时的速度大小．
（2）A下滑至杆与圆环第一次相切时，A的速度沿杆的方向，抓住A、B沿杆方向的分速度相等，结合系统机械能守恒求出B的速度，根据动能定理求出杆对B做的功．

解答 解：（1）当A滑到与O同高度时，A的速度沿圆环切向向下，B的速度为0，由机械能守恒定律得：
$3mgR=\frac{1}{2}（3m）{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{2gR}$．
（2）杆与圆环相切时，A的速度沿杆方向，设为v_A，此时B的速度设为v_B，根据杆不可伸长和缩短，得：
v_A=v_Bcosθ，
由几何关系得：$cosθ=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
球A下落的高度为：h=$\frac{5-2\sqrt{5}}{5}R$，
由机械能守恒定律得：$3mgh=\frac{1}{2}（3m）{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
由动能定理得：$W=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入数据解得：$W=\frac{15-6\sqrt{5}}{17}mgR$．
答：（1）A滑到与圆心O同高度时的速度大小为$\sqrt{2gR}$；
（2）A下滑至杆与圆环第一次相切的过程中，杆对B做的功为$\frac{15-6\sqrt{5}}{17}mgR$．

点评 本题考查了机械能守恒和动能定理的综合运用，知道A、B组成的系统机械能守恒，抓住A、B沿杆方向的分速度相等进行求解．