Question

5．如图所示，质量为M=0.6kg的长滑块静止在光滑水平地面上，左端固定一劲度系数为k=500N/m且足够长的水平轻质弹簧，右侧用一不可伸长的细绳连接于竖直墙上，细绳所能承受的最大拉力为T=l0N，使一质量为m=0.2kg、初速度为v₀的小物体，在滑块上无摩擦地向左滑动而后压缩弹簧，弹簧的弹性势能表达式为E_p=$\frac{1}{2}$kx²（x为弹簧的形变量）．求：
①给出细绳被拉断的条件．
②若v₀=3m/s，求细绳被拉断后，弹簧的弹性勢能最大值．

Answer 1

分析 ①假设绳子不断，当滑块速度减为零时，弹性势能最大，弹力最大，绳子的张力最大，等于弹簧的弹力，然后根据机械能守恒定律和胡克定律列式求解．
②根据系统的机械能守恒求出绳被拉断瞬间小物体的速度．当弹簧被压缩至最短时弹性势能有最大值，此时小物体和滑块有相同的速度，从绳被拉断后到弹簧压缩至最短时，对小物体、滑块和弹簧组成的系统根据动量守恒定律和机械能守恒定律结合求解．

解答 解：①设弹簧压缩量为时绳被拉断：kx=T
从初始状态到压缩绳被拉断的过程中，有 $\frac{1}{2}k{x}^{2}$＜$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
故细绳被拉断的条件为 v₀＞$\frac{T}{\sqrt{km}}$=1m/s     
②设绳被拉断瞬间，小物体的速度为v₁，由机械能守恒有
  $\frac{1}{2}$kx²+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{{T}^{2}}{km}}$=2$\sqrt{2}$m/s   
当弹簧被压缩至最短时，弹性势能有最大值为E_pm，小物体和滑块有相同的速度为v₂，从绳被拉断后到弹簧压缩至最短时，小物体、滑块和弹簧系统的动量守恒，机械能守恒，取向左为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律得：
  mv₁=（M+m）v₂；
  E_pm+$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得  E_pm=0.7J     
答：
①给出细绳被拉断的条件是v₀＞1m/s．
②若v₀=3m/s，求细绳被拉断后，弹簧的弹性勢能最大值是0.7J．

点评 本题关键要分析清楚滑块和滑板的运动规律，能结合机械能守恒定律和动量守恒定律多次列式后联立分析．