题目内容

20．质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上，钢板处于平衡状态，与质量也为m的物块甲从钢板正上方高为h的A处自由落下，打在钢板上并与钢板一起向下运动x0后到达最低点B；若物块乙质量为2m，仍从A处自由落下，则物块乙与钢板一起向下运动到B点时，还具有向下的速度，已知质量加速度为g，空气阻力不计，求；
（ⅰ）物块甲和钢板一起运动到最低点B过程中弹簧弹性势能的增加量；
（ⅱ）物块乙和钢板一起运动到B点时速度vB的大小．

分析 （ⅰ）分析物体的运动过程：物块先自由下落，机械能守恒．物块与钢板碰撞时，因碰撞时间极短，系统所受外力远小于相互作用的内力，遵守动量守恒定律，碰后一起向下运动至最低点，由功能关系可得弹簧弹性势能的增加量；
（ⅱ）分析过程同上，物体乙将钢板压至B点，形变量和原来的相同，弹性势能增加量仍然为△EP，由功能关系可求物块乙和钢板一起运动到B点时速度的大小．

解答 解：（ⅰ）物块甲静止自由落下，由动能定理可得：mgh=$\frac{1}{2}$mv02
v0为物块与钢板碰撞时的速度．因为碰撞板短，内力远大于外力，钢板与物块间动量守恒，以向下为正方向．
设v1为两者碰撞后共同速度，则有：mv0=2mv1
碰后一起向下运动至最低点，由功能关系可得：$\frac{1}{2}$（2m）v12+2mgx0=△EP
联立以上各式解得弹性势能增加量为：△EP=$\frac{1}{2}$mgh+2mgx0
（ⅱ）物块乙静止自由落下，由动能定理可得：2mgh=$\frac{1}{2}$2mv22
v2为物块乙与钢板碰撞时的速度．因为碰撞板短，内力远大于外力，钢板与物块间动量守恒，以向下为正方向．
设v3为两者碰撞后共同速度，则有：2mv2=（2m+m）v3
物体乙将钢板压至B点，形变量和原来的相同，弹性势能增加量仍然为△EP，所以
碰后一起向下运动至最低点，由功能关系可得：$\frac{1}{2}$（2m+m）v32-$\frac{1}{2}$（2m+m）vB2+3mgx0=△EP
联立以上各式解得乙和钢板一起运动到B点时速度大小为：vB=$\sqrt{\frac{5}{9}gh+\frac{2}{3}g{x}_{0}}$=$\sqrt{\frac{g}{9}（5h+6{x}_{0}）}$．
答：（ⅰ）物块甲和钢板一起运动到最低点B过程中弹簧弹性势能的增加量为$\frac{1}{2}$mgh+2mgx0；
（ⅱ）物块乙和钢板一起运动到B点时速度的大小为$\sqrt{\frac{g}{9}（5h+6{x}_{0}）}$．

点评 此题考查力动量守恒定律、动能定理和功能关系，它将动量守恒和功能关系完美地统一在一起，交替使用，可以说是一道考查考生能力的好试题．解答此题还要注意弹簧的弹性势能只与劲度系数和形变量有关．

练习册系列答案
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15．下列说法正确的是（　　）
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B．$\left.\begin{array}{l}{238}\\{92}\end{array}\right.$U→$\left.\begin{array}{l}{234}\\{90}\end{array}\right.$Th+$\left.\begin{array}{l}{4}\\{2}\end{array}\right.$He是人工核转变
C．$\left.\begin{array}{l}{24}\\{11}\end{array}\right.$Na→$\left.\begin{array}{l}{24}\\{12}\end{array}\right.$Mg+$\left.\begin{array}{l}{0}\\{-1}\end{array}\right.$e是β衰变反应
D．$\left.\begin{array}{l}{234}\\{90}\end{array}\right.$Hh→$\left.\begin{array}{l}{234}\\{92}\end{array}\right.$Pa+$\left.\begin{array}{l}{0}\\{-1}\end{array}\right.$e是α衰变反应
E．$\left.\begin{array}{l}{235}\\{92}\end{array}\right.$U+$\left.\begin{array}{l}{1}\\{a}\end{array}\right.$n→$\left.\begin{array}{l}{92}\\{36}\end{array}\right.$Kr+$\left.\begin{array}{l}{141}\\{56}\end{array}\right.$Ba+3$\left.\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}\right.$n是裂变反应
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9．下列说法正确的是（　　）
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