Question

16．如图所示，倾角为37°，长为l=16m的传送带，动摩擦因数μ=0.5，在传送带顶端A处初速度地释放一个质量为m=0.5kg的工件，已知sin37°=0.6，cos 37°=0.8，g=10m/s²．求：
（1）若传送带静止时，物体从顶端A滑到底端B的时间；
（2）若传送带逆时针转动时，转动速度为v=10m/s，当工件释放后经过1.5s，传送带因故障停止转动，通过计算判断，站在靠近底端B的工人发现后能在B处接住该工件吗？设工人的反应时间为0.4s．

Answer 1

分析 （1）传送带静止时，先由牛顿第二定律求出物体的加速度，再由位移公式求时间．
（2）若传送带逆时针转动时，物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带给物体一沿斜面向下的滑动摩擦力，物体由静止开始匀加速下滑，当物体加速至与传送带速度相等时，由于μ＜tan37°，物体在重力作用下将继续加速下滑，此后物体的速度大于传送带的速度，传送带给物体沿传送带向上的滑动摩擦力，但合力沿传送带向下，物体继续加速下滑，综上可知，滑动摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了“突变”；根据牛顿第二定律求出两段的加速度，再根据速度时间关系求两段过程的时间；然后与1.5s比较，同时判断出是否到达B点，以及传送带停止运动后物体运动的时间；最后做出判断．

解答 解：（1）若传送带静止时，根据牛顿第二定律得
   mgsin37°-μmgcos37°=ma 　　
所以：a=gsin37°-μgcos37°
代入数据得：a=2m/s²
由l=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
得 t=$\sqrt{\frac{2l}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×16}{2}}$=4s．
（2）若传送带逆时针转动时，开始阶段，由牛顿第二定律得：
  mgsin 37°+μmgcos37°=ma₁ 　　
所以：a₁=gsin37°+μgcos37°=10m/s²
物体加速至与传送带速度相等时需要的时间：
  t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=1s；
物体发生的位移：x₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=5m＜16m，所以物体加速到10m/s 时仍未到达B点，此时摩擦力方向改变．
第二阶段，由牛顿第二定律有：
  mgsin37°-μmgcos37°=ma₂
所以：a₂=2m/s²
设第二阶段物体滑动到B的时间为t₂ ，则：
  l-x₁=vt₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²
解得：t₂=1s＞（1.5-t₁）=1.5-1=0.5s
由于传送带停止运动后的加速度与传送带静止时的加速度相等，也是2m/s²，所以在传送带图中运动后物体运动再到B点的时间与传送带仍然以逆时针方向运动的时间是相等的，即：t₃=t₂-（1.5-t₁）=1-（1.5-1）=0.5s
可知大于工人的反应时间为0.4s，则工人发现后能在B点接住该工件．
答：
（1）若传送带静止时，物体从顶端A滑到底端B的时间是4s．
（2）工人发现后能在B点接住该工件．

点评 从本题可以总结出，皮带传送物体所受摩擦力可能发生突变，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻．