Question

船在300米宽的河中横渡，河水流速是5m/s，船在静水中的航速是3m/s，试求：
（1）要使船到达对岸的时间最短，船头应指向何处？最短时间是多少？航程多长？
（2）要使船航程最短，船头应指向何处？最短航程为多少？航行时间多长？

Answer 1

分析：船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，这类题主要是问最短的时间和最短的路程，最短的时间主要是希望合速度在垂直河岸方向上的分量最大，这样就可以用最快的速度过河，这个分量一般刚好是船在静水中的速度，即船当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短；最短的路程主要是希望合速度的方向在垂直河岸方向上，这样就可以在垂直河岸方向上运动，最短的位移是河两岸的距离．

解答：解：（1）当船头的指向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间t=

d

v静

=

300

3

s=100s．
船沿水流方向的位移等于s=v_水t=5×100m=500m．所以船的航程为x=

d2+s2

=

3002+5002

m=10

34

m
（2）由已知小船在静水中速度v₁=3m/s，河宽d=300m，水速v₂=5m/s，因v₂＞v₁，由矢量合成的平行四边形法则可知合速度不能垂直河岸，故船不可能垂直于河岸抵达正对岸，所以当合速度与船的速度相垂直时，航程最短，根据运动的合成，则有：船头偏向上游与水流方向的夹角的正弦值为

4

5

，根据三角形相似比，可得最短航程为：500m，航行时间t=

x

v合

=

500

4

s=125s
答：（1）要使船到达对岸的时间最短，船头应垂直河岸，最短时间是100s，航程10

34

m．
（2）要使船航程最短，船头应指向偏向上游与水流方向的夹角的正弦值为

4

5

，最短航程为500m，航行时间125s．

点评：小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，使用平行四边形法则求合速度．