Question

1．一根竖直放置的圆柱形细杆上套有质量m=1kg的一小圆环，小环的内径比细杆直径略大，环与细杆间的动摩擦因数μ=0.5，小环从离地面高L=2m的地方由静止开始下落，g取10m/s²．
（1）求小环自由下落到细杆底端时的速度大小；
（2）若从小环静止开始对小环施加一个水平向左的F₁=12N的恒力，求小环从细杆顶端下落到底端所需的时间；
（3）若从小环静止开始对小环施加一水平力F₂，F₂与小环下落距离x成正比，即F₂=kx，小环恰能运动到细杆底端，求k．

Answer 1

分析 （1）小环自由下落到细杆底端时，由运动学公式求速度．
（2）对小环施加一个水平向左的F₁=12N的恒力时，先根据牛顿第二定律求出环的加速度，再由位移公式求时间．
（3）当F₂=kx时，小环所受的滑动摩擦力均匀增大，根据摩擦力平均值求出摩擦力做的功，再由动能定理列式，可求解k．

解答 解：（1）小环自由下落到细杆底端时，由运动学公式得：
v²=2gL
得：v=$\sqrt{2gL}$=$\sqrt{2×10×2}$=2$\sqrt{10}$m/s
（2）对小环施加一个水平向左的F₁=12N的恒力时，根据牛顿第二定律得环的加速度为：
a=$\frac{mg-μ{F}_{1}}{m}$=g-$\frac{μ{F}_{1}}{m}$=10-$\frac{0.5×12}{1}$=4m/s²．
由L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2L}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×2}{4}}$=1s．
（3）当F₂=kx时，小环所受的滑动摩擦力为 f=μF₂=μkx，可知f随x均匀增大，摩擦力对小环做功为：
W_f=-$\overline{f}$L=-$\frac{0+μkL}{2}$L=-$\frac{μk{L}^{2}}{2}$
根据动能定理得：mgL+W_f=0
联立解得：k=20
答：（1）小环自由下落到细杆底端时的速度大小是2$\sqrt{10}$m/s；
（2）小环从细杆顶端下落到底端所需的时间是1s；
（3）k为20．

点评 本题的关键要正确分析小球的受力情况和运动情况，知道摩擦力随位移均匀变化时，要根据摩擦力平均值来求摩擦力做的功．