Question

10．如图所示，两个质量均为m、带电量均为+q的小球A和B，固定在轻质绝缘等腰直角三角形框架OAB的两个端点上，直角边的长度为L，另一端点用光滑铰链固定在O点，整个装置可以绕经过O点、且垂直于纸面的水平轴在竖直平面内自由转动．若在竖直平面内施加平行于框架的匀强电场，为使框架静止时OB边水平、OA边竖直（A在O点的正下方），则场强E的大小至少为$\frac{\sqrt{2}mg}{2q}$．若匀强电场的方向竖直向上，场强大小为E′=$\frac{7mg}{q}$，并将A球的带电量改为-q，其余条件不变，将系统从图示位置由静止释放，则小球A的最大速度为$\sqrt{2gL}$．

Answer 1

分析 设匀强电场E₂的方向与竖直方向夹角为θ，根据力矩平衡条件列式得到场强E₂与θ的表达式，根据数学知识求极值，得到强E₂的最小值．
设OB边转到与竖直方向成β角时，合力矩为零：q_AE₃Lcosβ-mgLcosβ+mgLsinβ-q_BE₃Lsinβ=0，解出β值，当框架转动90°+β时，小球速度最大．
能量守恒定律：q_AE′（L+Lsinβ）+q_BE′Lcosβ=mg（L+Lsinβ）+mgLcosβ+2×mv²代入数据计算最大速度．

解答 解：设匀强电场E₂的方向与竖直方向夹角为θ，则根据有固定转动轴物体的平衡条件，有
  qE₂Lcosθ+qE₂Lsinθ=mgL 
即$\sqrt{2}qEsin（θ+\frac{π}{4}）=mg$
当$θ=\frac{π}{4}$时，$E=\frac{\sqrt{2}mg}{2q}$ 
设OB边转到与竖直方向成β角时，合力矩为零：
q_AE₃Lcosβ-mgLcosβ+mgLsinβ-q_BE₃Lsinβ=0
框架转动90°+β时，小球速度最大．
能量守恒定律：△E=△E_p+△E_k，
即q_AE′（L+Lsinβ）+q_BE′Lcosβ=mg（L+Lsinβ）+mgLcosβ+2×mv²
解出$v=\sqrt{2gL}$
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}mg}}{2q}$，$\sqrt{2gL}$

点评 本题是关于竖直线对称的，但是不是图形的对称，而是需要力矩的对称，同样的一个力，需要在左边和右边时力臂是一样的．