Question

（14分）下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的二个圆形轨道组成，Ｂ、C分别是二个圆形轨道的最低点， BC 间距L=12.5m，第一圆形轨道半径R₁=1.4m。一个质量为kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以的初速度沿轨道向右运动。小球与水平轨道间的动摩擦因数，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。计算结果保留小数点后一位数字。试求

（1）如果小球恰能通过第一圆形轨道，AB间距L₁应是多少；　

（2）在满足（1）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R₂的可变范围；

（3）小球最终停留点与起点A的距离。

Answer 1

解：（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v₁==m/s

根据动能定理

                    

                  L₁=18.5m                      (  2分 )

                                    

   （2）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：

I．轨道半径较小时，小球恰能通过第二个圆轨道，设在最高点的速度为v₂，应满足

                                                          

                                

                                                (  2分 )

II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R₂，根据动能定理

                

解得                                             (  2分 )

为了保证圆轨道不重叠，R₂最大值应满足

                  

解得               R₂=27.9m                                 (  2分 )

综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

                                                (  1分 )

或                                        (  1分 )

当时，小球最终停留点与起始点A的距离为L′，则

               

                                                  (  2分 )         

当时，小球最终停留点与起始点A的距离为L〞，则

                               (  2分 )