如图.在直角三角形AOC中.竖直直角边AO=L.水平直角边OC=2L.斜边AC的正上方有沿竖直向上的匀强电场.OC的下方矩形区域内有垂直于三角形平面向里的匀强磁场.矩形区域的长度为3L.宽度为L．现有质量均为m.电荷量均为q的负粒子a.b.分别从A点不同时水平射出.速度大小分别为va=v0.vb=$\sqrt{2}$v0.b粒子从电场中经过C点.a粒子出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

如图，在直角三角形AOC中，竖直直角边AO=L，水平直角边OC=2L，斜边AC的正上方有沿竖直向上的匀强电场，OC的下方矩形区域内有垂直于三角形平面向里的匀强磁场，矩形区域的长度为3L，宽度为L．现有质量均为m、电荷量均为q的负粒子a、b，分别从A点不同时水平射出，速度大小分别为v_a=v₀、v_b=$\sqrt{2}$v₀，b粒子从电场中经过C点，a粒子出磁场时经过C点．不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力．求：
（1）b粒子经过C点时的速度？
（2）匀强电场的电场强度E的大小和匀强磁场的磁感应强度B的大小？
（3）若使a、b两粒子同时到达C点，则从A点先后射出时的时间差是多少？

分析（1）根据粒子做类平抛运动，结合平抛运动处理规律，及运动学公式，并依据速度的合成法则，即可求解速度大小，再由三角知识，求得速度的方向；
（2）根据牛顿第二定律，结合运动学公式，即可求解电场强度大小；再根据做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，并结合几何关系，从而求得磁感应强度大小；
（3）根据类平抛运动与匀速圆周运动，结合运动学公式，即可求解时间差．

解答解：（1）b粒子在电场中从A到C点，做类平抛运动：
2L=$\sqrt{2}$v₀t_b；①
L=$\frac{{v}_{by}}{2}{t}_{b}$②
经过C点时的速度大小v_c=$\sqrt{（\sqrt{2}{v}_{0}）^{2}+{v}_{by}^{2}}$=2v₀；③
方向与水平成θ，$tanθ=\frac{{v}_{by}}{{v}_{b}}$=1，
解得：θ=45° ④
（2）b粒子在电场中从A到C点做类平抛运动：qE=ma⑤
$L=\frac{1}{2}a{t}_{b}^{2}$⑥
①⑤⑥联解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$
对a粒子，在电场中，同理分析，应打在AC的中点D，过D点时的速度大小为v_aD=$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向仍与水平成45°角．
a粒子过D后进入磁场前做匀速直线运动，从F点进入磁场后做匀速圆周运动，轨迹如图所示（圆心角为90°）．

设圆半径为R_a
则$q{v}_{aD}B=m\frac{{v}_{aD}^{2}}{{R}_{a}}$

几何关系：$\sqrt{2}{R}_{a}+\frac{L}{2}=L$
解得：${R}_{a}=\frac{\sqrt{2}L}{4}$
B=$\frac{4m{v}_{0}}{qL}$
（3）由①得${t}_{b}=\frac{\sqrt{2}L}{{v}_{0}}$
a粒子从A到F，水平方向匀速，用时${t}_{a1}=\frac{3L}{2{v}_{0}}$
在磁场中用时${t}_{a2}=\frac{T}{4}$=$\frac{2π{R}_{a}}{4{v}_{aD}}$=$\frac{πL}{8{v}_{0}}$
时间差△t=t_a1+t_a2-t_b=$\frac{L}{{v}_{0}}（\frac{3}{2}+\frac{π}{8}-\sqrt{2}）$=$\frac{L}{2{v}_{0}}$
答：（1）b粒子经过C点时的速度大小2v₀，而方向与水平夹角为45°；
（2）匀强电场的电场强度E的大小$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$和匀强磁场的磁感应强度B的大小$\frac{4m{v}_{0}}{qL}$；
（3）若使a、b两粒子同时到达C点，则从A点先后射出时的时间差是$\frac{L}{2{v}_{0}}$．

点评考查粒子做类平抛运动与匀速圆周运动，掌握牛顿第二定律与运动学公式的应用，理解处理平抛运动的规律，及圆周的几何关系是解题的关键．同时注意正确画出运动轨迹是解题的重点．

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