Question

16．在静止的液体中下落的物体受到的阻力与速度成正比，即f=kv，所以最终会达到一个恒定的速度，称之为收尾速度．一个质量为m的半径非常小的铁球甲，紧贴水面由静止释放，此时在甲球正上方h处的一个完全相同的小球乙也由静止释放．若铁球在水中所受浮力保持不变恒为F，重力加速度为g，忽略空气阻力以及球的运动对液体的扰动，且水足够深．
（1）求乙球刚进入水面时的加速度；
（2）若将甲乙两球均由紧贴水面处先后由静止释放，释放的时间间隔为t，计算两球在运动过程中的最大距离．
（3）下落过程中，若乙球恰能追上甲球，追上时甲球下落的高度为H，追上之前乙球一直做减速运动，求该过程乙球克服水的阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）乙球先在空中做自由落体运动，由运动学公式得到刚进入水面时的速度，在水中，由牛顿第二定律求加速度．
（2）当两球都达到收尾速度的时候，二者之间的距离最大，由平衡条件和题中信息求出收尾速度，再由匀速运动的规律求最大间距．
（3）乙球恰好追上甲球，说明追上时，乙球的速度达到收尾速度．对乙球，根据动能定理求克服水的阻力做的功．

解答 解：（1）根据自由落体运动，则乙球刚进入水面时速度为：v_乙=$\sqrt{2gh}$
根据牛顿第二定律：
对乙球：mg-F-k$\sqrt{2gh}$=ma，则 a=g-$\frac{F+k\sqrt{2gh}}{m}$．
（2）根据题意可以知道，当二者都达到收尾速度的时候，二者之间的距离最大，故：
mg-F-kv=0，则：v=$\frac{mg-F}{k}$
故两球在运动过程中的最大距离△x=vt=$\frac{mg-F}{k}$t．
（3）根据题意，乙球恰好追上甲球，说明追上时，乙球的速度达到收尾速度v=$\frac{mg-F}{k}$
则对乙球根据动能定理：
mg（h+H）-FH-W_f=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
整理可以得到乙球克服水的阻力为：
W_f=FH-mg（h+H）-$\frac{1}{2}m（\frac{mg-F}{k}）^{2}$
答：（1）乙球刚进入水面时的加速度是g-$\frac{F+k\sqrt{2gh}}{m}$；
（2）两球在运动过程中的最大距离是$\frac{mg-F}{k}$t．
（3）该过程乙球克服水的阻力做的功是FH-mg（h+H）-$\frac{1}{2}m（\frac{mg-F}{k}）^{2}$．

点评 解决本题的关键首先要读懂题意，理解收尾速度的含义，明确两球在下落过程中的运动情况，分段运用动能定理和牛顿第二定律．