Question

4．2014年11月23日，国际海事组织海上安全委员会审议通过了对北斗卫星导航系统认可的航行安群通函，取得面向海事应用的国际合法地位，到目前为止北斗卫星导航系统由5颗同步卫星和30颗非同步卫星组成，若已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G，将地球视为半径为R，质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响，求：
（1）北斗卫星系统中，地球同步卫星轨道距地面的高度；
（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r，太阳的半径R₀和地球的半径R三者均减少2.0%，而太阳和地球的密度均减为原来的0.25倍，仅考虑太阳和地球相互间的作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长．

Answer 1

分析 （1）地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，则由万有引力充当向心力可求得其离地高度；
（2）地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力，万有引力提供向心力，计算地球的公转周期，太阳的质量等于密度乘以太阳的体积，代入化简，根据表达式和题中数据讨论，地球的公转周期的变化．

解答 解：（1）设同步轨道距地面高度为h，由万有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
解得：h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
（2）地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力．设太阳的质量为M_日，地球的质量为M，地球的公转周期为T_日，有：
$G\frac{{M}_{日}M}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{日}}^{2}}r$，
得：${T}_{日}=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{G{M}_{日}}}$
设太阳的密度为ρ，则太阳的质量M_日=$ρ\frac{4}{3}π{{R}_{0}}^{3}$，所以${T}_{日}=2π\sqrt{\frac{{3πr}^{3}}{Gρ{{R}_{0}}^{3}}}$，
可知，地球的公转周期T_日仅与太阳的密度、地球的公转轨道半径和太阳的半径有关．当地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r，太阳的半径R₀减少2.0%，而太阳和地球的密度均减为原来的0.25倍，则有：
${T}_{日}′=2π\sqrt{\frac{3π（0．{98r）}^{3}}{G0.25ρ（0.98R）^{3}}}=2$×$2π\sqrt{\frac{{3πr}^{3}}{Gρ{{R}_{0}}^{3}}}$=2T_日，所以“设想地球”的一年是现实地球的2年．
答：（1）北斗卫星系统中，地球同步卫星轨道距地面的高度为$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（2）“设想地球”的一年将变为2年．

点评 人造地球卫星所受到的万有引力充当向心力，根据题意选择恰当的向心力的表达式．