Question

16．在某星系里有A和B两颗星组成的双星系统，已知A的表面重力加速为g₁，半径为R₁，星球B的半径为R₂，两颗星求总质量为M，距离为L，万有引力常量G，求：
（1）此双星系统周期；
（2）两颗星球分别的轨道半径；
（3）B星的密度．

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的周期．应用牛顿第二定律列方程，结合几何关系即可求解．

解答 解：（1）设两颗星的质量分布为m₁和m₂；
对m₁：$\frac{G{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}•\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$  ①
对m₂：$\frac{G{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$    ②
且 r₁+r₂=L     ③
m₁+m₂=M   ④
解得：$T=2π\sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$
（2）由①②得：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$   ⑤
联立可得：${r}_{1}=\frac{{g}_{1}{R}_{1}L}{GM}$，${r}_{2}=L-{r}_{1}=L-\frac{{g}_{1}{R}_{1}L}{GM}$   ⑥
（3）联立③④⑥得：${m}_{2}=\frac{GM-{g}_{1}{R}_{1}}{G}$
所以B星的密度：ρ=$\frac{{m}_{2}}{{V}_{2}}=\frac{{m}_{2}}{\frac{4}{3}π{R}_{2}^{3}}$=$\frac{3GM-3{g}_{1}{R}_{1}^{2}}{4πG{R}_{2}^{3}}$
答：（1）此双星系统周期是$2π\sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$；
（2）两颗星球分别的轨道半径为$\frac{{g}_{1}{R}_{1}L}{GM}$和$L-\frac{{g}_{1}{R}_{1}L}{GM}$；
（3）B星的密度是$\frac{3GM-3{g}_{1}{R}_{1}^{2}}{4πG{R}_{2}^{3}}$．

点评 解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解．