Question

15．如图所示，相距L足够长的两根平行导轨与水平面成θ角，导轨电阻不计，上端连接阻值为R的电阻，导轨处在方向垂直导轨平面斜向上的匀强磁场中．在距导轨上端d₁处放置一水平导体棒ab，导体棒的质量为m，电阻也为R，导轨对导体棒ab的滑动摩擦力等于mgsinθ，（最大静摩擦力始终等于滑动摩擦力）
（1）若磁场的磁感应强度B随时间的变化规律为B=kt，求通过电阻R的电流
（2）在第（1）问中，从t=0时时刻开始，经多少时间导体棒开始滑动？
（3）若磁场的磁感应强度不随时间变化，大小为B₀，现对ab棒施以平行导轨斜向下的恒定拉力F，当导体棒ab下滑距离为d₂时速度达到最大，求导体棒ab从开始下滑到速度达到最大的过程，电阻R产生的热量为多少？

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由闭合电路欧姆定律求出电流．
（2）导体棒开始滑动时所受静摩擦力沿斜面向上达最大值，由平衡条件和安培力公式求解．
（3）当金属棒达到稳定速度时，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式结合得到ab棒的速度，再由能量守恒定律求解热量．

解答 解：（1）闭合回路中产生的感应电动势为：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$S=kLd₁
电流为：$I=\frac{E}{R+r}=\frac{{L{d_1}k}}{2R}$
（2）导体棒所受的安培力为：F_A=BIL
对导体棒，由平衡条件：f_m+mgsinθ=F_A
又f_m=mgsinθ
则得 2mgsinθ=F_A
因为B=kt，联立以上各式解得：$t=\frac{4mgRsinθ}{{{k^2}{L^2}{d_1}}}$
（3）当金属棒达到稳定速度时，有E=B₀Lυ，$I=\frac{E}{R+r}$，${F_A}^′={B_0}IL$
由平衡条件有 $F={F_A}^′$
联立得 $υ=\frac{2FR}{{B_0^2{L^2}}}$
由能量守恒定律：$F{d_2}=\frac{1}{2}m{υ^2}+Q$${Q_R}=\frac{1}{2}Q$
解得：${Q_R}=\frac{1}{2}（F{d_2}-\frac{{2m{F^2}{R^2}}}{{B_0^4{L^4}}}）$
答：（1）若磁场的磁感应强度B随时间的变化规律为B=kt，通过电阻R的电流是$\frac{L{d}_{1}k}{2R}$．
（2）在第（1）问中，从t=0时时刻开始，经$\frac{4mgRsinθ}{{k}^{2}{L}^{2}{d}_{1}}$时间导体棒开始滑动．
（3）导体棒ab从开始下滑到速度达到最大的过程，电阻R产生的热量为$\frac{1}{2}（F{d}_{1}-\frac{2m{F}^{2}{R}^{2}}{{B}_{0}^{2}{L}^{4}}）$．

点评 本题是线圈类型和导体在导轨上滑动类型的组合，分别从力和能量两个角度研究，关键要掌握法拉第定律、欧姆定律、能量守恒等等基本规律，并能正确运用．