Question

11．如图是中国月球探测工程形象标志，它以中国书法的笔触，抽象地勾勒出一轮明月，一双脚印踏在其上，象征着月球探测的终极梦想．若现在发射一颗绕月球表面飞行的卫星，测得其绕行的周期为T，线速度为v，万有引力常量G为已知条件．求：
（1）月球的质量与密度；
（2）若在月球表面以初速度v₀竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度是多少？

Answer 1

分析 （1）在发射一颗绕月球表面飞行的卫星，卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式分析即可；
（2）由于是卫星的重力提供向心力，故月球表面重力加速度等于卫星的向心加速度，求解出重力加速度后后根据速度位移公式列式求解物体上升的最大高度．

解答 解：（1）卫星受到的万有引力提供向心力，故：
$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$
其中：$T=\frac{2πr}{v}$
解得：M=$\frac{{{v^3}T}}{2πG}$
月球的密度：ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$；
（2）月球表面重力加速度等于卫星的向心加速度，故：g=vω=$\frac{2πv}{T}$；
对竖直上抛运动，根据速度位移公式，有：v²=2gh，
解得：h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{vT}{4π}$；
答：（1）月球的质量为$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$，密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$；
（2）若在月球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度是$\frac{vT}{4π}$．

点评 本题是万有引力定律的运用问题，关键是明确卫星的动力学来源，造成向心力，根据牛顿第二定律列式，注意月球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度不等．