Question

20．在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星．它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动．如果双星间距为L，质量分别为M₁和M₂，试计算：
（1）双星的轨道半径；
（2）双星的运行周期；
（3）双星的线速度．

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小；据万有引力提供向心力计算出周期；由线速度定义式可得线速度．

解答 解：设行星转动的角速度为ω，周期为T．
（1）如图，对星球M₁，由向心力公式可得：
$G\frac{{M}_{1}{M}_{2}}{{L}^{2}}$=M₁ω²R₁，
同理对星M₂，有：$G\frac{{M}_{1}{M}_{2}}{{L}^{2}}$=M₂ω²R₂
两式相除得：
$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}=\frac{{M}_{2}}{{M}_{1}}$，（即轨道半径与质量成反比）
又因为L=R₁+R₂
所以得：
R₁=$\frac{{M}_{2}}{{M}_{1}+{M}_{2}}L$，
R₂=$\frac{{M}_{1}}{{M}_{1}+{M}_{2}}L$．
（2）由上式得到ω=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{G（{M}_{1}+{M}_{2}）}{L}}$，
因为T=$\frac{2π}{ω}$，
所以：$T=2πL\sqrt{\frac{L}{G（{M}_{1}+{M}_{2}）}}$．
（3）由$v=\frac{2πR}{T}$可得双星线速度为：
${v}_{1}=\frac{2π{R}_{1}}{{T}_{\;}}=\frac{2π\frac{{M}_{2}}{{M}_{1}+{M}_{2}}L}{2πL\sqrt{\frac{L}{G（{M}_{1}+{M}_{2}）}}}$=${M}_{2}\sqrt{\frac{G}{（{M}_{1}+{M}_{2}）L}}$，

${v}_{2}=\frac{2π{R}_{2}}{{T}_{\;}}=\frac{2π\frac{{M}_{1}}{{M}_{1}+{M}_{2}}L}{2πL\sqrt{\frac{L}{G（{M}_{1}+{M}_{2}）}}}$=${M}_{1}\sqrt{\frac{G}{（{M}_{1}+{M}_{2}）L}}$．
答：（1）双星的轨道半径R₁=$\frac{{M}_{2}}{{M}_{1}+{M}_{2}}L$；R₂=$\frac{{M}_{1}}{{M}_{1}+{M}_{2}}L$；
（2）双星的运行周期$2πL\sqrt{\frac{L}{G（{M}_{1}+{M}_{2}）}}$；
（3）双星的线速度${{v}_{1}=M}_{2}\sqrt{\frac{G}{（{M}_{1}+{M}_{2}）L}}$；${v}_{2}={M}_{1}\sqrt{\frac{G}{（{M}_{1}+{M}_{2}）L}}$．

点评 解决本题的关键掌握双星模型系统，知道它们靠相互间的万有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．