Question

如图11所示，一个半径为R，水平放置的光滑圆环形轨道上，有两个可自由运动的小球，其质量分别为m和M，小球的直径略小于两轨道的间距。现有一个质量和长度均可忽略的弹簧，将两小球分别顶在弹簧两端，用细线将小球压紧弹簧后捆绑在一起。试求：

(1)如果细线断了，弹簧将两小球沿相反方向弹射出去，而弹簧离开轨道，两小球将在轨道何处发生碰撞?(如图，用θ_M表示)；

(2)设弹簧被压缩时的弹性势能为E₀,问从两球弹出到发生第一次碰撞的时间间隔t；

(3)若碰撞是完全弹性碰撞，问两球在第一次发生碰撞后，又在何处发生第二次碰撞?

Answer 1

(1)θ_M=

(2)t=πR

(3)第二次碰撞发生了开始断线处。

解析：(1)设两小球被弹开后的速度分别为v_M、v_m，线断并弹出两球的过程中，不受其他外力，系统的动量守恒：

Mv_M=mv_m  即

两小球被弹开后都做匀速圆周运动，到两球发生第一次碰撞时，M、m转过的角度分别为θ_M、θ_m。则：

又θ_M+θ_m=2π

所以：  得θ_m=

(2)弹出小球的过程，机械能守恒，得+=E₀

又

得v_M=

所以t=

(3)设v′_M、v′_m分别为两小球第一次碰撞后的速度，则对于两球的第一次碰撞过程有：

mv_m-Mv_M=Mv′_M-mv′_m=0

可见

由能量守恒得Mv′+mv′=E₀

∴v′_M=v_M      v′_m=v_m。

第二次碰撞发生在开始断线处。