Question

17．如图所示，AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内，由两个半径都是R的QUOTE圆周连接而成，它们的圆心O₁、O₂与两圆弧的连接点O在同一竖直线上．O₂B沿水池的水面，O₂和B两点位于同一水平面上．一个质量为m的小滑块可由弧AO的任意位置从静止开始滑下，不计一切摩擦．
（1）假设小滑块由A点静止下滑，求小滑块滑到O点时的动能大小；
（2）求小滑块在O点时对滑道的压力大小
（3）若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处（用该处到O₁点的连线与竖直线的夹角的三角函数值表示）

Answer 1

分析 （1）从A到O有动能定理即可求的动能；
（2）根据牛顿第二定律菊科求的对轨道O的压力；
（3）如图所示，设滑块出发点为P₁，离开点为P₂，按题意要求O₁P₁、O₂P₂与竖直方向的夹角相等，设其为θ，若离开滑道时的速度为v，则滑块在P₂处脱离滑道的条件是$\frac{m{v}^{2}}{R}=mgcosθ$，结合机械能守恒即可求解．

解答 解：（1）小滑块由A点滑到O点过程，由动能定理得：mgR=$\frac{1}{2}$mv₁²=E_k
E_k=mgR
（2）在O点由牛顿第二定律得：F_N-mg=$\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}$　
解得：F_N=3mg
根据牛顿第三定律可知对轨道的压力位3mg
（3）如图所示，设小滑块出发点为P₁，离开点为P₂，由题意要求O₁P₁、O₂P₂与竖直方向的夹角相等，设为θ，若离开滑道时的速度为v，则小滑块在P₂处脱离滑道的条件是：mgcosθ=$\frac{{m{v^2}}}{R}$ 
由动能定理得：2mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv²
解得：cosθ=0.8
答：（1）小滑块滑到O点时的动能大小为mgR；
（2）求小滑块在O点时对滑道的压力大小为3mg
（3）若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的cosθ=0.8

点评 该题主要考查了动能定理、向心力公式、平抛运动的规律及机械能守恒定律，综合性较强，难度较大．