Question

1．如图所示，半径为R=1.8m的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道AB，下端B恰与小车右端上表面平滑对接且到竖直挡板的距离为2.4m，小车固定在地面上，小车长未知，小车上表面距地面的高度h=0.2m，现有一质量为m=2kg的滑块，从圆弧轨道顶端由静止释放，滑到B端后冲上小车，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ=0.8，重力加速度g=10m/s²．
（1）求滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；
（2）滑块离开小车后恰好落在挡板底端，求小车的长度；
（3）若撤去小车，在A点给滑块一竖直向下的初速度，滑块也可以从B点平抛落到挡板的底端，求此初速度的大小．

Answer 1

分析 （1）滑块从A运动到B的过程，利用机械能守恒定律求出滑块在B点的速度，在B点滑块受到的支持力和重力的合力提供向心力，利用牛顿第二定律列式求出轨道对它支持力的大小；
（2）利用动能定理，结合平抛运动规律，列出方程，求出小车的长度；
（3）撤去小车后，滑块从B点做平抛运动，竖直方向和水平方向分别列式，求出滑块在B点的速度，滑块从A运动到B由机械能守恒列式，求出在A点给滑块的一竖直向下的初速度大小．

解答 解：（1）滑块从A运动到B的过程，由机械能守恒定律有：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B点由牛顿第二定律有：
${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
联立并代入数据解得：F_N=60N
（2）设滑块离开小车时的速度为v₁，由动能定理有：
$-μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
离开小车后，滑块做平抛运动，则
竖直方向有：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向有：x=v₁t
且x+L=2.4m
解得：L=2m
（3）撤去小车后，滑块从B点做平抛运动落到挡板的底端
竖直方向有：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向有：2.4m=v₂t
设在A点给滑块一竖直向下的初速度v₀，则滑块从A到B的过程中，由机械能守恒定律有
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgR=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：v₀=$6\sqrt{3}$m/s
答：（1）滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小为60N；
（2）滑块离开小车后恰好落在挡板底端，小车的长度为2m；
（3）若撤去小车，在A点给滑块一竖直向下的初速度，滑块也可以从B点平抛落到挡板的底端，此初速度的大小为$6\sqrt{3}$m/s．

点评 本题综合考查了机械能守恒，平抛运动和牛顿运动定律，解题的关键是对滑块的运动进行分析，根据运动情况和受力情况，结合牛顿运动定律列式求解．