Question

16．有一个半径为R的光滑半球固定在水平面上，在半球顶端A点无初速释放一个质量为m的可视为质点的光滑小球，小球先沿半球下滑一段距离后到达B点恰好离开半球面．已知重力加速度为g，求：
（1）小球落地时速度的大小为多少？
（2）B点与球心的连线和竖直线的夹角θ多大？（可用反三角函数表示）并求出小球到达B点时的速度大小为多少？

Answer 1

分析 （1）小球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，根据守恒定律列式求解落地速度；
（2）小球沿着光滑半球运动过程中，受重力和支持力，合力沿着半径方向的分力提供向心力，根据牛顿第二定律和动能定理分别列式，恰好离开半球时，弹力为零．

解答 解：（1）小球从A点下落到达地面的过程中，由机械能守恒定律，有：
$mgR=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：
$v=\sqrt{2gR}$

（2）设小球下滑到B点，与竖直夹角为θ 时，刚好离开半球面，根据牛顿第二定律，有：
$mgcosθ-{N_B}=m\frac{{{v_B}^2}}{R}$
根据动能定理，有：
 $mgR（{1-cosθ}）=\frac{1}{2}m{v_B}^2$
当 N_B=0时，得：
$cosθ=\frac{2}{3}$（$θ=arccos\frac{2}{3}$）
 ${v_B}=\sqrt{gRcosθ}=\sqrt{\frac{2gR}{3}}$
答：（1）小球落地时速度的大小为$\sqrt{2gR}$；
（2）B点与球心的连线和竖直线的夹角θ为$arccos\frac{2}{3}$，小球到达B点时的速度大小为$\sqrt{\frac{2gR}{3}}$．

点评 本题关键是明确小球的受力情况和运动情况，关键是找到向心力来源，结合机械能守恒定律、动能定理和牛顿第二定律列式求解，不难．