Question

12．如图所示，在水平地面上固定一个半径为R的半圆形轨道，其中圆弧部分光滑，水平段长为L，一质量为m的小物块紧靠一根被压缩的弹簧固定在水平轨道的最右端，小物块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，现突然释放小物块，小物块被弹出，恰好能够到达圆弧轨道的最高点A，重力加速度为g，弹簧长度忽略不计，求：
（1）小物块运动到圆弧轨道的最低点O′点时对轨道的压力；
（2）小物块释放前弹簧具有的弹性势能．

Answer 1

分析 （1）先设出小物块在圆弧轨道的最高点和最低点的速度，有最低点到最高点的过程中，机械能守恒，在最低点时，合力提供向心力，再结合牛顿第二定律和第三定律即可求得在轨道的最低点O′点时对轨道的压力．
（2）分析从释放小物块到运动到圆弧最低点的过程中的能量的转化，利用动能定理可得知小物块释放前弹簧具有的弹性势能．

解答 解：设小物块被弹簧弹出时的速度大小为v₁，到达圆弧轨道的最低点时速度大小为v₂，到达圆弧轨道的最高点时速度大小为v₃．
（1）因为小物块恰好能到达圆弧轨道的最高点，故向心力刚好由重力提供，设在最高点时的速度为v₃，有：$\frac{{m{v_3}^2}}{R}=mg$
设在最低点时的速度为v₂，小物块在圆弧轨道上从最低点运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v_2}^2=mg×2R+\frac{1}{2}m{v_3}^2$
小物块运动到圆弧轨道最低点O′点时受到的支持力和重力的合力提供向心力，有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
联立以上三式解得：F_N=6mg
由牛顿第三定律可得压力与支持力为作用力和反作用力，有：${F_N}^′={F_N}=6mg$
（2）设小物块被弹出时的速度为v₁，小物块被弹簧弹出到运动到圆弧轨道的最低点的过程中由动能定理可得：$-μmg×L=\frac{1}{2}m{v_2}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2$
小物块释放前弹簧具有的弹性势能转化为小物块被弹出时的动能，故有：E_p=$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}$
解得：E_p=$\frac{5}{2}$mgR+μmgL
答：（1）小物块运动到圆弧轨道的最低点O′点时对轨道的压力为6mg；
（2）小物块释放前弹簧具有的弹性势能为$\frac{5}{2}$mgR+μmgL．

点评 该题考查到了向心力、机械能的守恒以及动能定理等知识，对于向心力的问题，分析哪些力提供了向心力是解题的关键，可以牢记“沿半径方向上的所有力的合力提供向心力”；利用机械能守恒解题，紧扣只有重力和弹力做功这一条件；对于动能定理，要分析初末两个状态的动能这两个状态量，同时要弄清楚运动过程中有哪些力做了功，是做正功还是负功．