Question

6．如图所示，平面直角坐标系xOy在竖直面内，z轴在水平地面上，抛物线状的支架QOC（方程为y=x²）固定在z轴上，其顶点在坐标原点O；半径R=2m的四分之一光滑圆弧轨道AB固定在抛物线状的支架上合适的P点，其A端在y轴上，A端切线水平；倾角为45°的斜面CD，其C端固定在抛物线状的支架的C端，其D端在x轴上．一个小物块从圆弧轨道上某一位置由静止释放，过A点的速度为v_A=2$\sqrt{5}$m/s，并恰好从C点沿着斜面方向进入斜面．已知小物块与斜面间动摩擦因数μ=0.5，不计空气阻力，g=10m/s²．求：
（1）A点的高度h；
（2）小物块在圆弧轨道上释放点位置的纵坐标和横坐标；
（3）小物块到达斜面底端的速度大小．

Answer 1

分析 （1）结合题意，根据平抛运动规律和几何关系求出A点的高度h；
（2）根据动能定理和几何关系求出小物块在圆弧轨道上释放点位置的坐标；
（3）对CD段，根据几何关系和动能定理求出小物块到达斜面底端的速度大小．

解答 解：（1）从A到C过程中，小物块做平抛运动，设经过的时间为t，C点的坐标（x_C，y_C），在C点竖直方向的速度为v_y，
由几何关系得：v_y=v_Atan45°，
由速度时间关系得：v_y=gt，
水平方向上，有：x_C=v_At，
由题意知，C点在y=x²上，则有：y_C=${x}_{C}^{2}$，
竖直方向上有：h-y_C=$\frac{1}{2}$gt²，
由以上各式联立可解得：v_y=2$\sqrt{5}$m/s，t=$\frac{\sqrt{5}}{5}$s，x_C=2m，y_C=4m，h=5m．
（2）小物块在圆弧轨道上释放点位置的坐标（x，y），该点的半径与竖直方向的夹角为θ，小物块的质量为m，从释放点到A点运动的过程中，由动能定理得：
mg（R-Rcosθ）=$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$，
由几何关系得：x=Rsinθ，
y=h+R（1-cosθ），
联立以上各式可解得：x=$\sqrt{3}$m，y=6m，
小物块在圆弧轨道上释放点位置的坐标为（$\sqrt{3}$m，6m）．
（3）设斜面长为L，小物块在C点的速度为v_C，在D点的速度为v_D，
由几何关系得：v_A=v_Ccos45°，y_C=Lsin45°，
由动能定理得：（mgsin45°-μmgcos45°）L=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$，
联立以上各式可解得：v_D=4$\sqrt{5}$m/s．
答：（1）A点的高度h为5m；
（2）小物块在圆弧轨道上释放点位置的坐标为（$\sqrt{3}$m，6m）；
（3）小物块到达斜面底端的速度大小为4$\sqrt{5}$m/s．

点评 本题主要考查平抛运动规律和动能定理的综合应用，关键要弄清物块在不同阶段的规律，熟练运用相关公式和几何知识即可正确解题，有一定的难度．