Question

7．在科幻片《火星救援》中，马特•达蒙饰演的宇航员经历了一场恶劣的风暴后，与他的机组成员失联，但他凭借丰富的科学知识和顽强的品格在火星上存活下来，并最终成功回到地球．假设宇航员登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的$\frac{1}{2}$，质量是地球质量的$\frac{1}{9}$．已知地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，他在地面上能向上竖直跳起的最大高度是h，忽略自转的影响，下列说法正确的是（　　）

• A． 火星的密度为$\frac{2g}{3πGR}$
• B． 火星表面的重力加速度是$\frac{2g}{9}$
• C． 火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为$\frac{2}{3}$
• D． 宇航员以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是$\frac{9h}{4}$

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力求出地球的质量，从而求出火星的质量，结合火星的体积求出火星的密度．根据万有引力等于重力求出重力加速度之比，得出火星表面的重力加速度．根据万有引力提供向心力，

解答 解：A、根据$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$得，地球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，则火星的质量$M′=\frac{g{R}^{2}}{9G}$，火星的半径为$\frac{1}{2}R$，可知火星的体积V=$\frac{4}{3}π（\frac{1}{2}R）^{3}$=$\frac{1}{6}π{R}^{3}$，则火星的密度$ρ=\frac{M′}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{9G}}{\frac{1}{6}π{R}^{3}}$=$\frac{2g}{3πGR}$，故A正确．
B、根据g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$知，火星的半径是地球半径的$\frac{1}{2}$，质量是地球质量的$\frac{1}{9}$．则火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{4}{9}$倍，即火星表面的重力加速度为$\frac{4}{9}g$，故B错误．
C、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，火星的半径是地球半径的$\frac{1}{2}$，质量是地球质量的$\frac{1}{9}$．则火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为$\sqrt{\frac{2}{9}}$，故C错误．
D、根据h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$知，初速度相同，火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{4}{9}$倍，则上升的高度是地球上上升高度的$\frac{9}{4}$倍，故D正确．
故选：AD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．