Question

12．将一足够长的光滑U形导轨固定在竖直平面内，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，导轨间距为L，一质量为2m的金属板置于导轨的顶端，开始处于锁定状态，如图所示．一质量为m金属块由金属板的正上方H高处无初速释放，当金属块与金属板碰后锁定立即解除，且二者共速，共同的速度为碰前金属块速度的$\frac{1}{3}$，此后二者一起向下运动．若忽略一切摩擦，除金属板的电阻R外其余部分电阻均可忽路，重力加速度为g．
（1）金属块与金属板碰后的瞬间．金属板的加速度多大？
（2）碰后二者在加速的过程中，求金属板的速度为v₁时金属块对金属板的压力多大？
（3）若碰后二者下落的高度为h时，二者开始以v_m的速度做匀速直线运动，求v_m的大小．

Answer 1

分析 （1）金属块自由下落时，由动能定理求出碰撞前瞬间的速度，由题意得到碰后二者共同速度．由牛顿第二定律和安培力公式求解加速度．
（2）先以整体为研究对象，由牛顿第二定律求出加速度，再以金属块为研究对象，由牛顿第二定律求金属板对金属块的支持力，从而得到金属块对金属板的压力．
（3）二者以v_m的速度做匀速直线运动，合力为零，根据平衡条件和安培力公式结合求v_m．

解答 解：（1）设碰撞前金属块的速度为v，根据动能定理有：
mgH=$\frac{1}{2}$mv²
得：v=$\sqrt{2gH}$
碰撞后金属板以$\frac{1}{3}$v速度向下运动，产生的感应电动势为：E=BL•$\frac{1}{3}$v=$\frac{1}{3}$BLv
金属板受到向上的安培力为：F_安=BIL，而感应电流为：I=$\frac{E}{R}$
根据牛顿第二定律：3mg-F_安=3ma
代入可得：a=g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gH}}{9mR}$
（2）当速度为v₁时同理求出向下运动的加速度为：a′=g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{3mR}$
对金属块，根据牛顿第二定律得：mg-N=ma′
代入可得：N=mg-ma′=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
根据牛顿第三定律可知金属块对金属板的压力大小为：N′=N=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
（3）二者匀速运动时速度最大，加速度为零，由上可得：
3mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$=0
解得：v_m=$\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）金属块与金属板碰后的瞬间．金属板的加速度为g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gH}}{9mR}$．
（2）碰后二者在加速的过程中，金属板的速度为v₁时金属块对金属板的压力是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$．
（3）若碰后二者下落的高度为h时，二者开始以v_m的速度做匀速直线运动，v_m的大小是$\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 此题关键要推导出安培力与速度的关系式，知道金属板和金属块做匀速直线运动时，所受的重力与安培力平衡．