某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为G（x），当年产量不足80千克时，
G（x）=

1

3

x²+10x（万元）．当年产量不小于80千件时，G（x）=51x+

10000

x

-1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（　　）

通常候鸟每年秋天从北方飞往南方过冬，若某种候鸟的飞行速度y（m/s）可以表示为函数y=5log₂

x

10

，其中x为这种候鸟在飞行过程中耗氧量的单位数．
（1）当这种候鸟的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
（2）当这种候鸟静止时，它的耗氧量是多少个单位？

某专营店经销某商品，当售价不高于10元时，每天能销售100件，当价格高于10元时，每提高1元，销量减少3件，若该专营店每日费用支出为500元，用x表示该商品定价，y表示该专营店一天的净收入（除去每日的费用支出后的收入）．
（1）把y表示成x的函数；
（2）试确定该商品定价为多少元时，一天的净收入最高？并求出净收入的最大值．

我国是电力资源较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用电的目的，某市每户每月用电收费采用“阶梯电价”的办法，具体规定如下：

用电量（千瓦时）	电费（元|千瓦时）
不超过200的部分	0.56
超过200至300的部分	0.64
超过300的部分	0.96

解答以下问题：（1）写出每月电费y（元）与用电量x（千瓦时）的函数关系式；
（2）若该市某家庭某月的用电费为224元，该家庭当月的用电量是多少？

某公司生产的商品A每件售价为5元时，年销售10万件．
（1）据市场调查，若价格每提高一元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入

1

2

(x2+x)万元作为技改费用，投入

x

4

万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？

设函数f（x）=

ex

x-a

的导函数为f'（x）（a为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ） 求实数a，使曲线y=f（x）在点（a+2，f（a+2））处的切线斜率为-

a3+6a2+12a+7

4

；
（Ⅲ） 当x≠a时，若不等式|

f′(x)

f(x)

|+k|x-a|≥1恒成立，求实数k的取值范围．

某“农家乐”接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．（不考虑其他因素）
（1）设每间客房日租金提高4x元（x∈N⁺，x＜20），记该中心客房的日租金总收入为y，试用x表示y；
（2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；
（Ⅱ）求证：若二面角M-BQ-C为30°，试求

PM

PC

的值．

设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）“凸函数“；已知f（x）=

1

12

x⁴-

m

6

x³-

3

2

x²在（1，3）上为“凸函数”，则实数取值范围是（　　）

若x²+6＜5x，y=x²+5x+6，则有（　　）