椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（

4

3

，

b

3

）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=

3

x，有焦点F到直线x=

a2

c

的距离为

3

2

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线与曲线C相较于B，D两点，已知A（1，0），若

DF

•

BF

=1，证明：过A．B．D三点的圆与x轴相切．

在三棱锥A-BCD的各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG=P，则点P（　　）

如图所示，若ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M．求证：MN∥AD．

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为10．
（Ⅰ）求棱AA₁的长；
（Ⅱ）若A₁C₁的中点为O₁，求异面直线BO₁与A₁D₁所成角的余弦值．

已知|

OA

|=1，|

OB

|=

3

，

OA

•

OB

=0，点C在∠AOB内，且C（

3

4

，

3

4

），设

OC

=m

OA

+n

OB

（m，n∈R），则

m

n

的值为（　　）

一个三次函数y=f（x），当x=3时取得极小值y=0，又在此函数的曲线上点（1，8）处的切线经过点（3，0），求函数f（x）的表达式．

斜率为k（k≠0）的两条直线分别切函数f（x）=x³+（t-1）x²-1的图象于A、B两点，若直线AB的方程为y=2x-1，则t+k的值为（　　）

某校为了解高一年级期末考试数学科的情况，从高一的所有数学试卷中随机抽取n份试卷进行分析，得到数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩在[70，80）的人数为20，规定：成绩≥80分为优秀．
（1）求样本中成绩优秀的试卷份数，并估计该校高一年级期末考试数学成绩的优秀率；
（2）从样本成绩在[50，60）和[90，100）这两组随机抽取2名同学，设其测试成绩分别为m，n，求事件“|m-n|≤10”的概率．

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²+a（a为常数），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）的图象的切点的横坐标为l．
（Ⅰ）求直线l的方程及a的值；
（Ⅱ）当k＞0时，试讨论方程f（1-x²）-g（x）=k的解的个数．