Question

5．已知抛物线C：y²=4x，过点A（-1，0）的直线交抛物线C于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点，设$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AQ}$．
（Ⅰ）试求x₁，x₂的值（用λ表示）；
（Ⅱ）若λ∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，求当|PQ|最大时，直线PQ的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量的数量积的坐标表示可得x₁+1=λ（x₂+1），y₁=λy₂，代入抛物线方程可得：λ²x₂+1=λ（x₂+1），λx₂（λ-1）=（λ-1），即可求得x₂=$\frac{1}{λ}$，x₁=λ；
（Ⅱ）由题意可得x₁•x₂=1，${y}_{1}^{2}$•${y}_{2}^{2}$=16，求得y₁•y₂=4，根据两点之间的距离公式求得|PQ|的表达式，由λ∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，根据二次函数的性质即可求得|PQ|最大值，求得λ的值，求得P和Q的坐标，求得直线PQ的方程．

解答 解：（Ⅰ）．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₁，-y₁）
∵$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AQ}$，
∴x₁+1=λ（x₂+1），y₁=λy₂，
∴y₁²=λ²y₂²，y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，x₁=λ²x₂
∴λ²x₂+1=λ（x₂+1），λx₂（λ-1）=（λ-1），
∵λ≠1，
∴x₂=$\frac{1}{λ}$，x₁=λ，…5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：${x_2}=\frac{1}{λ}，{x_1}=λ$，从而x₁•x₂=1，${y}_{1}^{2}$•${y}_{2}^{2}$=16，x₁•x₂=16，
从而有y₁•y₂=4，
则$|PQ{|^2}={（{x_1}-{x_2}）^2}+{（{y_1}-{y_2}）^2}={λ^2}+\frac{1}{λ^2}+4（λ+\frac{1}{λ}）-10={（λ+\frac{1}{λ}）^2}+4（λ+\frac{1}{λ}）-12$…（9分）
由于λ∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，则$λ+\frac{1}{λ}∈[\frac{5}{2}，\frac{10}{3}]$，
根据二次函数的知识得：当λ+$\frac{1}{λ}$=$\frac{10}{3}$，即λ=$\frac{1}{3}$时，|PQ|有最大值$\frac{4\sqrt{7}}{3}$，…（11分）
此时P（$\frac{1}{3}$，±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），Q（3，±2$\sqrt{3}$），
直线PQ的方程为：$\sqrt{3}x±2y+\sqrt{3}=0$…（13分）

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查二次函数的图象及性质，直线方程，考查计算能力，属于中档题．