Question

设F₁、F₂分别是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F₁F₂为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF₁F₂=（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  3

  5

• C、

  4

  5

• D、

  5

  6

Answer 1

分析：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由双曲线的定义知m-n=2a，由△PF₁F₂为直角三角形，知m²+n²=4c²，由双曲线的离心率为5，c=5a，由此能求出结果．

解答：解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
则由双曲线的定义知m-n=2a，①
∵△PF₁F₂为直角三角形，
∴m²+n²=4c²，②
∵双曲线的离心率为5，
∴

c

a

=5，即c=5a，
把①和②联立方程组

m-n=2a m2+n2=4c2

，
解得mn=2b²=2（c²-a²）=48a²，
解方程组

m-n=2a mn=48a2

，得m=8a，n=6a，
∴cos∠PF₁F₂=

|PF2|

|F1F2|

=

m

2c

=

8a

2×5a

=

4

5

．
故选C．

点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，解题时要认真审题，注意双曲线定义的灵活运用．