Question

设是函数的一个极值点.

（1）求与的关系式（用表示）；

（2）求的单调区间；

（3）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）；

（2）① 当时，单调递增区间为：；单调递减区间为：，；

② 当时，单调递增区间为：；单调递减区间为：，；

（3）.

【解析】

试题分析：（1）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（2）第二问关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题.（3）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.

试题解析：（1）∵

∴

由题意得：，即，

∴且

令得，

∵是函数的一个极值点.

∴，即 故与的关系式

（2） ① 当时，，由得单调递增区间为：；

由得单调递减区间为：，；

② 当时，，由得单调递增区间为：；

由得单调递减区间为：，；

（3） 由（2）知：当时，，在上单调递增，在上单调递减，

，

在上的值域为

易知在上是增函数

在上的值域为

由于，又因为要存在，

使得成立，所以必须且只须， 解得：

所以：的取值范围为

考点：（1）利用导数求函数的最值；（2）利用导数研究函数的单调性.（3）函数的恒成立问题.