题目内容

已知a为实数， $数学公式$ ．
（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当f（x）是奇函数时，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围．

解：（1）设x₁＞x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∴x₁＞x₂，
∴ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∴f（x₁）-f（x₂）=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在定义域上为增函数．
（2）因为f（x）是R上的奇函数，所以 $\text{[math]}$ ，
即a=1． $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
当且仅当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时等号成立，
所以，t的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设x₁＞x₂，代入函数解析式利用指数函数的单调性求得f（x₁）-f（x₂）＞0，进而可知f（x₁）＞f（x₂）推断出函数为增函数．
（2）利用f（x）是奇函数时，可推断出f（0）=0求得a，进而求得f^-1（x）的解析式，利用题设等式求得t的表达式，最后利用基本不等式求得t的最小值，进而求得t的范围．
点评：本题主要考查了函数单调性的判断和证明．一般是先设出定义域上的x₁＞x₂，根据f（x₁）和f（x₂）的大小来判断函数的单调性．